martes, 23 de agosto de 2011
Triángulos etiquetados
Un triángulo equilátero se divide en $25$ triángulos iguales etiquetados de $1$ a $25$. Muestra que se pueden encontrar dos triángulos que tienen un lado en común cuyas etiquetas difieren en más de $3$.
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2 comentarios:
Un camino es una sucesión de triángulos tal que cualesquiera dos consecutivos en la sucesión tienen un lado en común.
Definimos la longitud de un camino como la cantidad de aristas que son comunes a exactamente dos triángulos pertenecientes al camino.
Supongamos que los números están acomodados tales que la diferencia entre dos consecutivos es menor o igual a $3$.
Por la definición de camino y como estamos suponiendo que no hay dos adyacentes con diferencia mayor a $3$, es claro que si un camino de longitud $l$ va de $A$ a $B$, entonces $A$ y $B$ tienen diferencia a lo más $3l$. Por lo tanto no debe de existir ningún camino de longitud menor a $8$ que vaya del triángulo con el $1$ al triángulo con $25$, y como cualesquiera dos triángulos están conectados por un camino de longitud menor a $9$, entonces el camino más corto entre el $1$ y el $25$ entonces el camino más corto entre el éstos tiene longitud $8$...
Sea $C$ uno de los caminos mínimos que van del $1$ al $25$, entonces $C$ tiene longitud $8$, y como estamos suponiendo que la diferencia entre cualesquiera dos triángulos adyacentes es menor o igual a $3$ y $8x3=24=25-1$, entonces en $C$ deben de aparecer los números $1,4,7...25$, por lo tanto sólo puede haber un camino de longitud $8$ que vaya del $1$ al $25$, entonces el $1$ y el $25$ deben de estar en las esquinas del triángulo grande, entonces en los triángulos que tienen un punto en común con el lado que une a las esquinas que tienen los números $1$ y $25$ deben de estar los números $1,4,7...25$, entonces los números que no son congruentes a $1 (mod3)$ están contenidos en un triángulo de lado $4$, en especial el $2$ y el $24$ están en un triángulo de lado $4$, entonces existe un camino de longitud $7$ entre el $2$ y el $24$, entonces por los dicho anteriormente estos números deben de tener diferencia menor o igual a $21$, contradicción.
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