miércoles, 24 de agosto de 2011
Problema del día (álgebra): Polinomio irreducible rumano
Demuestra que para todo entero positivo $n$ el polinomio $f(x)=(x^2+x)^{2^n}+1$ no puede ser escrito como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.
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3 comentarios:
Sea $g(x)=f(x+1)$, luego vemos que $2^n$ en $i$ es par para toda i distinta de cero y $2^n$, (resultado conocido o corolario de Teorema de Luca). Luego el termino independiente queda como 2 y los coeficientes otros, aparte del principal quedan como numeros pares o cero (el principal queda como 1). Luego por criterio de Einsestein con el primo igual a 2 g(x) es irreducible, por lo tanto f(x) tambien.
Oye flavio, pero $g(x)=f(x+1)=(x^2+3x+2)^{2^n}+1$, entonces el termino independiente queda como $2^{2^n}+1$ y eso es mucho mayor a $2$ y ya no podrías aplicar el criterio de Eisenstein como lo hiciste.
Si, me di cuenta como un dia despues de escribirlo, pero ya no dije nada por que igual nadie leyo el problema parece, incluso pues tu viste el error una semana despues.
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