Muchas felicidades a todos los concursantes y entrenadores que acaban de hacer de este 2011 un año historico

Problema del lunes en martes

Ayer olvidé poner problema. Pero aquí están estos: 1) Let S be a set of n persona such that: (i) any person is acquainted with exactly k other persons in S; (ii) any two persons that are acquainted have exactly l common acquaintances in S; (iii) any tío persons that are not acquainted have exactly m common acquaintances in S. Prove that m(n-k) - k(k-l) + k - m = 0. 2) Let a_1 <= a_2 <= ... <= a_n = m be positive integres. Denote bu b_k the number of those a_i for which a_i >= k. Prove that a_1 + a_2 + ... + a_n = b_1 + b_2 + ... + b_m. 3) Let n be an odd integre greater than 1 and let c_1, c_2, ..., c_n be integers. For each permutation a = (a_1, a_2, ..., a_n) of {1, 2, ..., n}, define S(a) = sum of (c_i)(a_i) from i=1 to n. Prove that there exist not equal permutations a and b of {1, 2, ..., n} such that n! is a divisor of S(a) - S(b).

Problema del dia, Algebra

Un poco tarde, pero todavia es miercoles, asi que aqui les va el problema del dia de algebra.

Sea $d$ un entero positivo. Muestra que para cada entero $S$, existe un entero $n >0$
y una sucesion $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, donde para cualquier $k$, $x_k=1$ o
$x_k=-1$, tal que

$$S= x_1 (1+d)^2 + x_2 (1+2d)^2 + x_3(1+3d)^2 + \dots + x_n (1+nd)^2.$$

Dos de Algebra(Diego)

Pondre dos problemas de algebra

1.Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ tal que $a+b+c=3$. Demostrar

$$ \sum_{cyc} \frac{a}{1+(b+c)^2}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$$

2. Sea $f(x)\in \mathbb Z[x] $ un polinomio monico de grado $2$, sin raices reales, tal que $|f(0)|$ es libre de cuadrados y diferente de $1$. Demuestra que para cualquier $n\in \mathbb Z$, $f(x^n)$ es irreducible en $\mathbb Z[x] $.

Problemas del dia 13 de septiembre

Ahí les van unos problemas sencillones, para entrenar un poco de algebra.
1.- Sea $P(x)$ un polinomio mónico cuadrático, tal que $P(x)$ y $P(P(P(x)))$ tienen una raíz en común. Demuestra que $P(0)*P(1)=0$.
2.-Sea $f(x)=x^2+2007x+1$. Demostrar que para todo entero $n$ la ecuación $f^n(x)=0$ tiene al menos una solución real.
3.-Demuestra que para todos los enteros $a>1$ y $b>1$ existe una función $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos tal que
$f(a\cdot f(n))=b\cdot n$ para todo $n$.

Lema de Geo

Aquí pongo un lema que me ha servido en varios problemas "recientes", tal vez ya se lo sepan.

Lema: Sea $ABC$ un triángulo, $X,Y$ los puntos donde el incírculo toca a $AC$ y $AB$ respectivamente, $M$ el punto medio de $CB$, $T$ la circunferencia de diámetro $CB$. Entonces $XY$, la bisectriz del ángulo en $C$, $T$ y la paralela por $M$ a $AC$ concurren.

problema de lunes

Encuentra todos los enteros de la forma 2^n (donde n es un entero positivo) con la propiedad de que, después de eliminar el primer dígito de su representación decimal, obtengamos nuevamente una potencia de 2.

Problema del día.

Dados $n\geq 4 $ puntos en el plano de tal manera que la distancia entre cualesquiera dos de ellos es un entero, demuestra que al menos $\frac{1}{6}$ de estas distancias son divisibles entre 3.

¡A Diego le toca poner problema los miércoles que quedan!

Problema del Viernes

Bueno, como Irving no me puso dia, voy a agarrar el viernes:
Sean $b, m, n$ enteros positivos con $b \textgreater 1$ y $m \neq n$.
Suponga que $b^m-1$ y $b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos.Pruebe que $b + 1$ debe ser potencia de 2.

Problema Combi

Un triángulo de lado $3000$ se divide en $3000^2$ triángulos equiláteros de lado $1$. Los vértices de estos triángulos se colorean con tres colores. Muestra que hay tres vértices del mismo color que son los vértices de un triángulo equilátero con los lados paralelos al triángulo original.

problema del dia 6 de septiembre (Jorge)

Aquí pongo problemas de un estilo a mi parecer típico de la ibero y poco standard en México.

Procuré ponerlos en orden de dificultad.

1.- Encuentra el mayor entero $n$ tal que existen puntos $P_1, P_2,...P_n$ en el plano y reales $r_1, r_2,... r_n$ tal que la distancia entre $P_i$ y $P_j$ es $r_i+r_j$ para todo $i,j$.

2.- Sea $n\geq 2$ un entero y $D_n$ el conjunto de los puntos latiz $(x,y)$ en el plano con $-n\leq x\leq n$, $-n\leq y\ n$.

a) Cada uno de los puntos de $D_n$ se pinta de uno de tres colores. Demuestra que sin importar la coloración existen dos puntos de $D_n$ con el mismo color tal que la recta que los contiene no pasa por ningún otro punto en $D_n$.

b)Encuentra una manera de pintar $D_n$ utilizando cuatro colores tal que toda recta que pase por dos puntos del mismo color pase por al menos tres puntos en $D_n$.

3.- Encuentra todas las $n$ mayores a $3$ tales que existen puntos $P_1,P_2,...P_n$ en el plano (no tres de ellos colineales) y reales $r_1,r_2,...r_n$ tales que el área del triángulo $P_iP_jP_k$ es $r_i+r_j+r_k$.

4.- Sea $s<\frac{1}{2}$ un real positivo. Demuestra que es imposible cubrir un cuadrado unitario con cinco cuadrados iguales de lado $s$.

problema de lunes

es un problema sencillo con un resultado que puede ser útil:

Sea M un punto en el interior del triángulo equilátero ABC y sean A', B', y C' sus proyecciones sobre los lados BC, CA, y AB, respectivamente. Puebe que la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos MAC', MBA' y MCB' es igual a la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos MAB', MBC' y MCA'.

Geometría

Sea $\Delta ABC$ un triángulo de ortocentro $H$ y sea $P$ un punto en su circuncírculo, distinto de $A,B,C$. Sea $E$ el pie de la altura desde $B$. Sean $PARC$ y $PAQB$ paralelogramos, y sea $X$ la intersección de las rectas $AQ$ y $RH$. Pruebe que $AP||EX$.