Examen IMO Mock 2 Sabado 25 de Mayo, 4:00 pm

Problema 1. Sea $n$ un entero mayor o igual que $1$. Para un entero positivo $m$, sea $S_m=\{1, 2, \dots, mn\}$. Suponga que existe un conjunto $T$ de $2n$ elementos tal que

$(a)$ cada elemento de $T$ es un subconjunto de $S_m$ con $m$ elementos;

$(b)$ cada par de elementos de $T$ comparten a los más un elemento;

$(c)$ cada elemento de $S_m$ esta contenido en exactamente  dos elementos de $T$.

Encuentre el valor maximo posible de $m$ en terminos de $n$.


Problema 2.  Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo acutángulo, y sean $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo, respectivamente. Para $1 \leq i \leq 3$, los puntos $P_i$ y $Q_i$ estan sobre las rectas $OA_i$ y $A_{i+1}A_{i+2}$ (donde $A_{i+3}=A_i$), respectivamente,  tal que $OP_iHQ_i$ es un paralelogramo. Muestra que

$\frac{OQ_1}{OP_1} + \frac{OQ_2}{OP_2}+\frac{OQ_3}{OP_3} \geq 3$.


Problema 3. Para un entero positivo $n$, sea $S$ el conjunto de polinomios $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes enteros positivos menores o iguales que $n!$. Un polinomio $P(x)$ en el conjunto $S$ es llamado "suave" si para cualquier entero positivo $k$, la sucesión $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $\dots$ contiene un número infinito de enteros primos relativos con $k$. Muestra que al menos $71 \%$ de los polinomios en $S$ son suaves.