1. Sean $a, b, c, d, e, f$ enteros positivos. Sea $S= a+b+c+d+e+f$ y supon que divide a: $abc+def$ y tambien a $ab+bc+ca-de-ef-fd$. Prueba que $S$ es compuesto.
2. Sean $a > b > c > d$ enteros positivos y se tiene que $ac+bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c)$.
Prueba que $ab+cd$ no es primo.
4 comentarios:
A ver, entonces en el primero dices que
$S|abc+def$
$S|ab+bc+ca-de-ef-fd$
?
En el primero si S es primo entonces S divide a a^2+b^2+c^2.
El chiste es ver que
$\left(a+i\right)\left(b+i\right)\left(c+i\right)\equiv -\left(d-i\right)\left(e-i\right)\left(f-i\right)\pmod{S}$
y ver que $S>1$, y si $S$ es primo,entonces cada variable es menor a $S$ y no divisible por $S$, pero existe $i$ tal que $a+i$ es divisible por $S$, por lo que debe existir, digamos $f$ tal que $f-i$ es divisible por $S$, por lo que
$a+f$
es divisible por $S$, y eso implica que $a+f\geq S>a+f$ lo cual es una contradicción.
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