Considerse los polinomios
$$ f_n(q) =\sum\limits_{i = 0}^n{c(n,i){q^i}} $$
Con $n\in \mathbb{N}$ tal que $c(n,i)\equiv \binom{n}{i}\pmod{2}$ y $c(n,i)\in \{0,1\}$. Sean $r,s,q$ enteros positivos tal que $q+1$ no es potencia de $2$. Demuestra que si $f_r(q)|f_s(q)$ entonces $f_r(m)|f_s(m)$ para toda m positiva.
$$ f_n(q) =\sum\limits_{i = 0}^n{c(n,i){q^i}} $$
Con $n\in \mathbb{N}$ tal que $c(n,i)\equiv \binom{n}{i}\pmod{2}$ y $c(n,i)\in \{0,1\}$. Sean $r,s,q$ enteros positivos tal que $q+1$ no es potencia de $2$. Demuestra que si $f_r(q)|f_s(q)$ entonces $f_r(m)|f_s(m)$ para toda m positiva.
8 comentarios:
Sea $C(n)$ el conjunto de posiciones donde $n$ tiene un 1 (en binario). Por ejemplo, $C(4)=\{2\}$, $C(7)=\{0,1,2\}$, $C(0)=\{\}$.
LEMA: $c(n,i)=1$ sii $\subseteq C(n)$
DEMOSTRACION: Usando que $v_2(m!)=n-s_2(m)$ donde $s_2$ es la suma de dígitos de un número en binario, llegamos a que $c(n,i)=1$ es equivalente a que no ocurran acarreos en $i+(n-i)$ que pasa cuando $C(i) \subseteq C(n)$.
LEMA: $C(i) \subseteq C(n) \Rightarrow$ existe $l$ tal que $f_s=f_rf_l$
DEMOSTRACION: Sea $l$ tal que $C_(s)=C(r) \cup C(l)$ es una partición. Ahora
$f_l(x)f_r(x) = (\sum_{C_(i) \subseteq C(l)} x^i)(\sum_{C_(j) \subseteq C(r)} x^j)$$=\sum_{C_(i+j) \subseteq C(l+r)} x^{i+j} = (\sum_{C(m) \subseteq C(s)} x^m)$$=f_s(x)$
Ahora si $n=2^{a_1}+...+2^{a_k}$ es la expansión binaria, usando el lema $k$ veces, vemos que
$f_n=f_{2^{a_1}}*...*f_{2^{a_k}}$
Ahora supongamos que $f_r(q) | f_s(q)$ y que $q+1$ no es potencia de $2$ y que $f_r$ no divide a $f_s$. Entonces existe $k \in C(r) - C(s)$. Sea $C(s)=\{b_1,...,b_t\}$. Vemos que
$q^{2^k}+1 | \prod_{i=1}^t (q^{2^{b_i}}+1)$
Por lo que para todo $p$ primo que divide a $q^{2^k}+1$ se cumple que $p | q^{2^{b_j}}+1$ para algún $j$.
Pero $q^{2^a}+1 | q^{2^b}-1$ si $a \textless b$. Usando ésto vemos que $p=2$ y por tanto $q^{2^k}+1$ es potencia de $2$.
Por catalán y usando que $k$ no es $0$ pues $q+1$ no es potencia de $2$ llegamos que $q^{2^k}+1=2$ y ésto da $q=1$, una contradicción pues $q+1=2$ es una potencia de $2$.
FIN
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