lunes, 23 de junio de 2014

Encuentra todas las funciones de reales positivos a reales positivos tales que:
$f(f(x)^2y)=x^3f(xy)$
Dedicado a Diego
Posted by nivek at 11:22 p.m.

10 comentarios:

Juan dijo...
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24 de junio de 2014, 2:10 a.m.
Juan dijo...
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24 de junio de 2014, 2:11 a.m.
Juan dijo...
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24 de junio de 2014, 2:31 a.m.
Juan dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
24 de junio de 2014, 9:34 p.m.
Juan dijo...
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25 de junio de 2014, 1:44 p.m.
Juan dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
25 de junio de 2014, 2:00 p.m.
Juan dijo...

Sea la ecuación original $(1)$.

Si $f(a)=f(b)$ entonces en $(1)$ con $y=1$ y $x=a$ y $x=b$ obtenemos que $f$ es inyectiva.

En $(1)$ con $x=1$ obtenemos $f(1)=1$.

En $(1)$ con $y=1/x$ tengo $x^3=f(\frac{f(x)^2}{x})$. Con $y=1$ tengo $f(f(x)^2)=x^3f(x)$ y con $y=1/f(x)^2$ tengo $f(\frac{x}{f(x)^2})=\frac{1}{x^3}$. A estas 3 ecuaciones les llamo $(2)$.

Ahora en $(1)$ y por $(2)$ con $x=1/a$ y $y=f(a)^2$ tengo que $a^3=f(f(a)^2/a)=f(xy)=a^3f(f(\frac{1}{a})^2f(a)^2)$ y por inyectividad tengo que $f(\frac{1}{x})f(x)=1$. A ésto le llamo $(4)$.

Fijemos $k$ y sea $y=1/xk$. Tenemos por $(1)$ que: $x^3=f(f(x)^2/xk)f(k)$ y hacemos dos cosas

$f(f(x)^2/xk)f(k)=f(k)f(f(x)^2*\frac{1}{xk})=$$f(k)(x^3k^3f(f(1/xk)^2f(x)^2))$

y

$f(f(x)^2/xk)f(k)=f(k)f(\frac{f(x)^2}{k}\frac{1}{x})=$$f(k)(x^3f(f(1/x)^2f(x)^2/k))$

entonces por inyectividad vemos que

$f(xk)/f(x)$ es constante y por tanto $f$ es multiplicativa.

Sea $g(x)=xg(x)$ vemos que $g$ es multiplicativa, va de positivos a positivos y $g(w)=w^{5/2}$ para todo $w \in A$ donde $A = \{ g(x) \}$. Sea $h(x) = log (f(e^x)^{2/5})$.

Vemos que $h$ es aditiva, va de reales a reales y cumple $h(h(x))=h(x)$. Para toda $h$ que cumpla esto, tendremos que
$f(x)=\frac{e^{h(log(x))*\frac{5}{2}}}{x}$

cumple el problema original. Habría que ver que $h=1$ o $h(x)=x$.

Conclusión: $f(x)=1/x$, $f(x)=x^{3/2}$.

25 de junio de 2014, 2:14 p.m.
Juan dijo...

Entonces tenemos que existe una biyección entre las funciones que satisfacen el problema y las funciones $h$ aditivas de reales a reales que satisfacen $h(h(x))=h(x)$.

Pero... al parecer hay funciones salvajes de Cauchy que lo satisfacen.

Así que... dudo que el problema esté bien.

25 de junio de 2014, 2:47 p.m.
nivek dijo...

Si es de racionales positivos a racionales positivos y perdon se me fue eso, supongo por ponerlo en la noche crei que si escribi eso bien

25 de junio de 2014, 3:03 p.m.
Juan dijo...

Con racionales es fácil acabar tomando el $g$ multiplicativo de racionales positivos a racionales positivos que cumple $g(g(x))=g(x)^{5/2}$. Vemos que $g^{k+1}(x)=g(x)^{\frac{5}{2}^k$ donde $k$ es un entero y $g^a(x)$ es $g(g(...(x)...)$. Tomando $k$ muy grande tal que $g(x)$ tenga un factor primo cuyo exponente no es divisible por $2^k$, acabamos.

Y $f(x)=1/x$ es la única solución.

25 de junio de 2014, 3:14 p.m.

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