Examen IMO mock 1

Problema 1. Encuentra todos los enteros poitivos $x$, $y$ tales que
$p^x$ − $y^p = 1$ donde $p$ es primo.



Problema 2. Para cualesquiera números reales no negativos $a$, $b$, $c$, $d$ muestra
$$(ab)^{\frac{1}{3}} + (cd)^{\frac{1}{3}} \leq ((a+c+b)(a+c+d))^{\frac{1}{3}}.$$



Problema 3. Sea $ABC$ un triángulo equilátero de lado $L$. Sea $\mathcal{C}$ y $\mathcal{M}$ el circuncírculo y el incírculo, respectivamente de $ABC$. Sea $P$ un punto en   $\mathcal{M}$ y sean $P_1$, $P_2$, $P_3$ las proyecciones de $P$ sobre $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Los círculos $\mathcal{T}_1$, $\mathcal{T}_2$ y $\mathcal{T}_3$ son tangentes a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $P_1$, $P_2$ y $P_3$, respectivamente, y a $\mathcal{C}$ internamente, mientras que sus centros estan en diferentes lados de $BC$, $CA$, $AB$ con respecto a $A$, $B$, $C$. Muestra que la suma de las longitudes de las tangentes externas comunes de $\mathcal{T}_1$, $\mathcal{T}_2$ y $\mathcal{T}_3$ es constante.