Sean $C$ y $O$ dos circulos que se cortan en $M$ y $N$. Sea $AB$ la tangente comun a esos circulos de forma que $M$ esta mas cerca de $AB$ que $N$. Sean $X$ y $Y$ las reflexiones de $A$ y $B$ por $M$, y sean $E$ y $F$ las intersecciones del circuncirculo de $MXY$ con $C$ y $O$, respectivamente. Muestra que los circuncirculos de $EMF$ y de $ENF$ tienen el mismo radio.
Dedicado a Willy.
Hallar todas las parejas de enteros no negativos $(x,y)$ tales que $x^3+y$ y $y^3+x$ son ambos multiplos de $x^2+y^2$.
Dedicado a Chacón.
jueves, 12 de junio de 2014
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5 comentarios:
Veamos que si $F'$ es la interseccion de BX con O entonces $F'=F$ ya que angulo $MF'B=MBA=YXB$ entonces $MXYF'$ es ciclico y $F'=F$ analogamente para $E$ entonces de manera simple se ve que angulo $EMN$ es $MAB+MBA$ y tambien lo es $BMA$ y por lo tanto vemos que angulo $BMA=ENF=180-MBA-MAB$
Perdon si no aclare mucho laa cosas esque es medio tatde y lo escribo del celular, pero crro que se entiende si no pregunten
$EF$ es tangente.
Para el 2, vemos que $x^2+y^2 | (x+y)(xy-1)$ sumando. Pero es fácil ver que $x,y$ son coprimos. Entonces $(x+y,x^2+y^2) \le 2$. Por AMGM acabamos deduciendo que $xy-1=0$ entonces $x=y=1$.
Si $x=0$, entonces $y^2 |y$ entonces $y=0,1$.
Si $x=1$, entonces $y^2+1 | y^3+1 -(y+1)=y(y^2-1)$. Si $y=0,1$ sí cumple, si es mayor $(y,y^2+1)=1$ entonces $y^2+1 | y^2-1$ entonces $y^2+1=1,2$ pero $y\geq 2$.
Supongamos $x,y\geq2$.
Sea $d=(x,y)$. $d^2 | x^2+y^2 | x^3+y$, y $d^2 | x^3$ entonces $d^2 | y$, de la misma forma $d^2 | x$, y como $d$ es el mcd, $d=1$.
$x^2+y^2 | x^3+y -x(x^2+y^2)=y(1-xy)$
$x^2+y^2 | y^3+x -y(x^2+y^2)=x(1-xy)$
$\Rightarrow x^2+y^2 | (x-y)(1-xy)$
Supongamos que $p$ primo divide a $x^2+y^2, x-y$, entonces también a $x^2+y^2-(x^2-y^2)=2y^2$. $p$ no divide a $y^2$ porque entonces dividiría a $x^2$ pero son primos relativos, entonces $p=2$, además 4 no divide a $x^2+y^2$ porque no son ambos pares, entonces el único factor que pueden tener en común $x^2+y^2,x-y$ es un 2.
Entonces $x^2+y^2|2(xy-1)$. Como $x,y$ son mayores a 1, $xy-1>0$.
$x^2+y^2\leq 2xy-2$ por la divisibilidad, pero $x^2+y^2\geq 2xy$ lo que no se puede, por lo tanto ya no hay más pares.
Por lo tanto son sólo $(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$
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