10 de septiembre.

Creo que no tiene sentido poner un problema nuevo dado que hay varios con pocos comentarios o ninguno. Así que la idea es trabajar en los problemas que no han sido respondidos. Si publican algo en alguno pongan un comentario aquí indicando el día del problema para que todos sepamos que dicha discusión se ha reactivado.

Problema de Algebra

Considera una colección de vectores $(x,y)$ con coordenadas enteras no negativas, al menos una de las cuales es no cero. Uno de tales vectores se llama un generador si $|x-y|=1$.

a) Muestra que dado un vector $(x,y)$, este puede ser representado como suma de diferentes generadores (o uno solo si el vector es generador) si y s ólo si la cantidad $k(x,y)=x+y-(x-y)^2$ es no negativa.

b) Muestra que el número $N(x,y)$ de diferentes representaciones (modulo el orden) de los vectores
$(x,y)$ como sumas de distintos generadores depende sólo del número $k(x,y)$. Encuentra $N(13,18)$.

Problema del día 7 de septiembre.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos que no son cuadrados perfectos. Para $n$ en $S$, decimos que una lista de enteros $a_1,a_2,...,a_r$ es buena si $n<a_1<a_2...<a_r$ y $n\cdot a_1\cdot a_2\cdots a_r$ es un cuadrado, ahora nos fijamos en el último término de cada lista buena y sea $m$ el menor de ellos, entonces decimos que $m$ es el abuelo de $n$. Por ejemplo, $2\cdot 3\cdot 6$ es un cuadrado, mientras que $2\cdot 3$, $2\cdot 4$, $2\cdot 5$, $2\cdot 3\cdot 4$, $2\cdot 3 \cdot 5$, $2\cdot 4\cdot 5$ y $3\cdot 4\cdot 5 $ no son cuadrados, por lo tanto $6$ es el abuelo de $2$.

 Demuestra que dos números distintos tienen abuelos distintos.

Problema de Algebra

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios mónicos tales que $P(P(x))=Q(Q(x))$, para todo número real
$x$. Muestra que $P(x)=Q(x)$.

Problema del día 2 de septiembre

¿Cómo van con el problema del lunes?, ¿necesitan algún hint? Mientras les dejo el de hoy.

Hay 2010 cajas numeradas del 1 al 2010, digamos $B_1, B_2, ..., B_{2010}$. Entre ellas se reparten $2010n$ pelotas. Es posible redistribuir las pelotas entre las cajas como sigue: se escoge un entero $i$ y se toman $i$ pelotas de la caja $B_i$ las cuales se ponen en otra caja. Encuentra los valores de $n$ para los cuales sea posible llegar al acomodo en donde cada caja tiene exactamente $n$ bolas sin importar el acomodo inicial.