Maratón fáciles 1

Empezando el maratón que faltaba.

Problema 1. Pruebe que el número $1$ se puede escribir de una infinidad de maneras distintas de la forma: $1=\frac{1}{5} + \frac{1}{a_{1}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}}$, donde $n, a_{1}, \cdots, a_{n}$ son enteros positivos y $5<a_{1}< \cdots < a_{n}$.

Maratón Difíciles 1

Se supone que debe haber dos maratones más. ¿Quieren empezarlos?

Problema 1. Sea $f$ una función no constante de los enteros positivos a los enteros positivos tal que $a - b$ divide a $f(a) - f(b)$ para cualesquiera enteros positivos distintos $a, b$. Muestra que existe una infinidad de primos $p$ tales que $p$ divide a $f(c)$ para algún entero positivo $c$.

Maratón Teoría de Números 1

Problema 0. Para cualquier entero $n\geq 2$ definimos $A_n$ como el número de enteros positivos $m$ con la siguiente propiedad: la distancia de $n$ al menor múltiplo de $m$ es igual a la distancia de $n^3$ al múltiplo más cercano de $m$. Determina todos los enteros $n\geq 2$ para los cuales $A_n$ es impar.

Nota: La distancia entre dos enteros $a$ y $b$ es $|a-b|$.

Maratón Combinatoria 1

Problema 0. Un subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ se llama balanceado si para cada $a$ en $S$ hay un $b$ en $S$ distinto de $a$ tal que $\frac{a+b}{2}$ también está en $S$.

a) Sea $k>1$ un entero y $n=2k$. Muestra que cada subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ con más de $\frac{3n}{4}$ elementos es balanceado.

b) ¿Existe un $n=2k$ con $k>1$ un entero para el cual cada subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ con más de $\frac{2n}{3}$ elementos es balanceado?

Maratón Álgebra 1

Problema 0. Sea $n>1$ un entero. Encuentra todos los polinomios no constantes de coeficientes reales $P(x)$ que satisfacen para cualquier real $x$ la identidad $P(x)P(x^2)P(x^3) \cdots P(x^n) = P(x^{\frac{n(n+1)}{2}})$

Maratón Geometría 1

Problema 0. $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Las diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en $P$. $P$. Las rectas $DA$ y $CB$ se encuentran en $Q$. El punto medio de $AB$ es $E$. Muestra que si $PQ$ es perpendicular a $AC$, entonces $PE$ es perpendicular a $BC$.

Maratones de problemas: Instrucciones

Para entrenar en el blog en los primeros meses de 2016 usaremos Maratones temáticos de problemas. Habrá una entrada por cada uno de los siguientes temas:

1. Algebra
2. Combinatoria
3. Geometría
4. Teoría de números
5. Problemas más fáciles
6. Problemas más difíciles

La dificultad de 1, 2, 3, 4 comenzará siendo como problemas medios de Ibero, o sencillos de IMO/EGMO. La dificultad de 5 será como problemas de nacional o centro. La dificultad de 6 será como difíciles de Ibero o medios de IMO/EGMO. Conforme pase el tiempo, iremos subiendo la dificultad.

Trabajaremos por relevos, en donde cada que alguien resuelve un problema, le toca poner el siguiente. La dinámica es la siguiente. Supongamos que el problema actual es P y fue propuesto por A.

• Si B resuelve P, entonces le toca poner problema a B. Para esto, pondrá una comentario en donde diga "Solución a P" y un enlace a la solución (fotos en dropbox). Después de esto, pondrá "Problema P+1" y escribirá el problema (o pondrá un enlace a él).
• La persona A le echará un ojo a la solución de B y le dará comentarios o retroalimentación.
• Si en 24 horas nadie resuelve P, la persona A sube una sugerencia (en enlace, por si alguien no quiere ver la sugerencia tan rápido).
• Si 48 horas después de la sugerencia nadie resuelve P, la persona A sube la solución y un problema un poco más fácil.

De esta forma, siempre hay 6 problemas simultáneos para trabajar.

Como son maratones, al llegar a 42 problemas se acaba esa entrada y es un gran logro grupal. Se abre una entrada con un nuevo maratón de ese tema. Avísenme si falta escribir algo de lo que platicamos.