Problema 0. Un subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ se llama balanceado si para cada $a$ en $S$ hay un $b$ en $S$ distinto de $a$ tal que $\frac{a+b}{2}$ también está en $S$.
a) Sea $k>1$ un entero y $n=2k$. Muestra que cada subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ con más de $\frac{3n}{4}$ elementos es balanceado.
b) ¿Existe un $n=2k$ con $k>1$ un entero para el cual cada subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ con más de $\frac{2n}{3}$ elementos es balanceado?
viernes, 11 de marzo de 2016
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21 comentarios:
Solucion:
Incso a) https://www.dropbox.com/s/su2ugx4v8o07spo/Photo%2022-03-16%2012%2018%2040.jpg?dl=0
No se si el b lo entendi bien, pero con n=6, veo que 2(6)/3=4, y por el inciso a cualquier subconjunto de 5 o 6 si es balanceado, entonces si existe esa n.
Problema 1:Se tienen N monedas, de las cuales N − 1 son auténticas de igual peso y una es falsa, de peso diferente de las demás. El objetivo es, utilizando exclusivamente una balanza de dos platos, hallar la moneda falsa y determinar si es más pesada o más liviana que las auténticas. Cada vez que se pueda deducir que una o varias monedas son auténticas, entonces todas estas monedas se separan inmediatamente y no se pueden usar en las siguientes pesadas. Determine todos los N para los que se puede lograr con certeza el objetivo. (Se pueden hacer tantas pesadas como se desee.)
Solución: https://www.dropbox.com/s/6dxtoryewuq3b2i/Sol%20C1.png?dl=0
Problema 2: Sea $A=(a_{1},a_{2},...,a_{2001})$ una secuencia de enteros positivos. Sea $M$ el número de ternas $(a_{i}, a_{j}, a_{k})$ con $1\leq i < j <k \leq 2001$ tal que $a_{j}=a_{i}+1$ y $a_{k}=a_{j}+1$. Considerando todas las posibles secuencias $A$, encuentra el mayor valor posible de $M$.
Solución 2:
https://www.dropbox.com/s/lwxykluhdz2r47c/SolC2.pdf?dl=0
Problema 3:
Sea $a_1, a_2, \dots, a_n$ una secuencia de números reales y $m$ un entero positivo fijo menor que $n$. Decimos que un índice $k$ con $1 \leq k \leq n$ es bueno si existe un $\ell$ con $1 \leq \ell \leq m$ tal que $a_k + a_{k + 1} + \dots + a_{k + \ell - 1} \geq 0$, donde los índices se toman módulo $n$.
Sea $T$ el conjunto de todos los índices buenos. Muestra que $\sum_{k \in T} a_k \geq 0$.
Solución 3: https://www.dropbox.com/s/vs6rdld0w2hsjgr/image.jpeg?dl=0
Problema 4:
Un conjunto de tres enteros no negativos $\{x,y,z\}$ con $x<y<z$ es elegante si $\{z-y,y-x\}$=$\{1776,2001\}$. Muestra que el conjunto de todos los enteros no negativos puede ser escrito como la unión de conjuntos elegantes disjuntos.
Solución 4: https://www.dropbox.com/s/db1hb4yh228tqw3/SolC4.pdf?dl=0
Problema 4: Dado un $n \ge 2$ entero positivo sea $S = \{1,2,3, \dots, 6n \}$ un conjunto. Encuentra el mayor $k$ tal que cada subconjunto $A$ de $S$ con $4n$ elementos tiene al menos $k$ parejas $(a,b)$ con $a<b$ tal que $a$ divide a $b$.
Solución 5: https://www.dropbox.com/s/n7e8q80rwpc7vx3/Sol-C5.pdf?dl=0
Problema 6: Cada una de nueve líneas rectas divide a un cuadrado en dos cuadriláteros con razón entre sus áreas igual a $r$ con $r>0$ (La razón es igual para cada recta que lo divide). Prueba que al menos tres de esas rectas concurren.
Solución 6: https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nYmhjOEpuZmVFWWc/view?usp=sharing
Problema 7: En cierto planeta, hay $2^N$ países ($N \geq 4$). Cada país tiene una bandera de ancho $N$ y altura 1 compuesta por $N$ campos de tamaño $1 \times 1$, cada campo de color amarillo o azul. No hay dos países con la misma bandera.
Decimos que un conjunto de $N$ banderas es diverso si dichas banderas se pueden acomodar en un cuadrado de $N \times N$ de tal manera que los $N$ campos de alguna de sus diagonales principales tienen el mismo color. Determina el mínimo entero positivo $M$ tal que entre cualesquiera $M$ banderas distintas, existen $N$ que forman un conjunto diverso.
Solución 7: https://www.dropbox.com/s/a997y02ux7dte7r/image.jpeg?dl=0
Problema 8: Encuentra todos los posibles valores de $n$ tales que existe un conjunto $S$ de $n$ puntos en el plano, no hay tres colineales, y se cumple que uno puede colorear los puntos de manera que si tres puntos son del mismo color o si tienen tres colores diferentes, entonces no forman un ángulo obtuso. El número de colores que se pueden utilizar es ilimitado.
Solución 8:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nME1feWhtdjBlcFk/view?usp=sharing
Problema 9:
Para un polígono convexo $P$ un recorte de $P$ consiste en elegir tres vértices consecutivos $A, B, C$ y cambiar los segmentos $AB$ y $BC$ por los segmentos $AM$, $MN$ y $NC$, donde $M$ y $N$ son los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente.
Sea $\mathcal{P}_6$ un hexágono regular de área 1. Para cada $n \geq 6$ se obtiene el polígono $\mathcal{P}_{n + 1}$ aplicandole un recorte al polígono $\mathcal{P}_n$.
Muestra que sin importar los recortes que se hagan, el área de $\mathcal{P}_n$ es mayor que $\frac{1}{3}$ para todo $n \geq 6$.
Solución 9: https://www.dropbox.com/s/a997y02ux7dte7r/image.jpeg?dl=0
Problema 10: En la secuencia $1,0,1,0,1,0,3,5, \cdots$ cada término a partir del séptimo es igual al último dígito de la suma de los seis anteriores. Prueba que no hay seis términos consecutivos que sean $0,1,0,1,0,1$.
Solución 10:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nOWlnSXdXbG42RmM/view?usp=sharing
Problema 11:
Sea $n \geq 4$ un entero positivo. Dado un conjunto $S = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}$ de puntos en el plano tales que no hay tres colineales y no hay cuatro concíclicos, sea $a_t$, $1 \leq t \leq n$, el número de circunferencias $(P_iP_jP_k)$ que contienen a $P_t$ en su interior, y sea
$$m(S) = \sum_{i = 1}^n a_i$$
Muestra que existe un entero positivo $f(n)$, que depende únicamente de $n$, tal que los puntos de $S$ son los vértices de un polígono convexo si y solo si $m(S) = f(n)$.
Solución 11: https://www.dropbox.com/s/a997y02ux7dte7r/image.jpeg?dl=0
Problema 12: Se tienen $n$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales. Prueba que el número de triángulos, cuyos vértices son tomados de los $n$ dados, y que tienen área $1$, es menor o igual a $\frac{2}{3}(n^{2}-n)$
Solución 12:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4neG1lM3BKNkxDUkU/view?usp=sharing
Problema 13:
Sea $n \geq 1$ un entero. Determina el máximo número de parejas disjuntas de elementos del conjunto $\{1, 2, \dots, n\}$ tales que las sumas de las parejas distintas son enteros distintos menores o iguales que $n$.
Solución 13: https://www.dropbox.com/s/1jjjvbafv8hlqj9/Sol%20C13.pdf?dl=0
Algunas de mis soluciones pasadas ya no están en el mismo link, ahora están en este: https://www.dropbox.com/sh/0db5mi64q247e09/AABiK3_4A_sN65plxgEliOBka?dl=0
Problema 14: En una escuela hay $2007$ niñas y $2007$ niños. Cada estudiante pertenece a no más de $100$ talleres en la escuela. Se sabe que cualesquiera dos estudiantes de género opuesto tienen al menos un taller en común. Prueba que existe un taller con al menos $11$ niñas y $11$ niños.
Solución 14:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nNXp5MXluZm9OajQ/view?usp=sharing
Problema 15:
Para un polígono convexo $\mathcal{P}$ un recorte de $P$ consiste en elegir tres vértices consecutivos $A, B, C$ y dos puntos $M, N$ en el interior de los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente, y reemplazar los segmentos $AB$ y $AC$ por los segmentos $AM, MN$ y $NC$.
Sea $\mathcal{P}_6$ un hexágono regular de área 1. Para cada $n \geq 6$ se obtiene el polígono $\mathcal{P}_{n + 1}$ aplicandole alguno de los posibles recortes al polígono $\mathcal{P}_n$.
Determina la máxima constante real $c$ tal que para todo entero positivo $n \geq 6$ se cumple que el área de $\mathcal{P}_n$ es mayor o igual que $c$, independientemente de los recortes que se hagan.
Correción:
"...interior de los segmentos $AB$ y $BC$..."
"...reemplazar los segmentos $AB$ y $BC$..."
Solución 15: https://www.dropbox.com/s/k7iszus6udeci47/Sol%20C15.pdf?dl=0
Problema 16: Una o más potencias de $2$ (pueden repetirse) se escriben en cada una de $n$ hojas de papel. La suma de los números de cada hoja es la misma. Cada número aparece a lo más $5$ veces entre todas las $n$ hojas. Encuentra el mayor valor posible de $n$.
Hints para el problema 16: https://www.dropbox.com/s/tvtyiu8yehxd8sb/Hint%20C16.pdf?dl=0
Solución 16: https://www.dropbox.com/s/cpaslfe81mcvd9o/Sol%20C16.png?dl=0
Problema 17: Los números $1$ y $-1$ se escriben en las casillas de un tablero de $2000\times 2000$. Si la suma de todos los números escritos en las casillas del tablero es positiva, prueba que se pueden elegir $1000$ filas y $1000$ columnas de manera que la suma de los números en las casillas en las que se intersectan estas filas y columnas es al menos $1000$.
Solución 17: https://drive.google.com/open?id=0BzJCrR_cmk8KOU5pSGtROThTbnc
Problema 18: Un librero tiene $n$ volúmenes numerados del $1$ al $n$, en algún orden. Una persona selecciona un volúmen que está muy a la derecha, digamos el volumen $k$, y lo coloca en la posición $k$. Por ejemplo si están los libros en el orden $1, 3, 2, 4$, puede agarrar al $2$ y colocar entre el $1$ y el $3$. Llegando al orden correcto $1, 2, 3, 4$. Pruebe que:
a) Si este proceso es repetido, sin importar como haga los movimientos la persona siempre se llega al orden correcto.
b) ¿Cuántos pasos a lo más debe realizar la persona para llegar al orden correcto?
El inciso b) puede que este algo mal formulado, para evitar confusiones puede ser equivalente al siguiente enunciado: ¿Cuál es el mayor número de movimientos que el proceso puede tomar?
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