Problema 0. Para cualquier entero $n\geq 2$ definimos $A_n$ como el número de enteros positivos $m$ con la siguiente propiedad: la distancia de $n$ al menor múltiplo de $m$ es igual a la distancia de $n^3$ al múltiplo más cercano de $m$. Determina todos los enteros $n\geq 2$ para los cuales $A_n$ es impar.
Nota: La distancia entre dos enteros $a$ y $b$ es $|a-b|$.
viernes, 11 de marzo de 2016
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
18 comentarios:
Solución: https://www.dropbox.com/s/p5qn8binfw2bsoq/SolN0.pdf?dl=0
Problema 1: Demuestra que todos los racionales positivos pueden ser representados en la forma $\dfrac{a^3+b^3}{c^3+d^3}$ donde $a,b,c,d$ son enteros positivos.
Hints Problema 1: https://www.dropbox.com/s/kas6zgoy0dpahr2/Hint%20N1.pdf?dl=0
Solución Problema 1: https://www.dropbox.com/s/jihxv3qrswpmynt/SolN1.pdf?dl=0
Problema 2: Demuestra que la expresión $\dfrac{(m,n)}{n} \dbinom{n}{m}$ es un entero para todos los enteros positivos con $n \ge m \ge 1$ donde $(m,n)$ denota el máximo común divisor de $m,n$.
Solución Problema 2: https://www.dropbox.com/s/cyh8the72rtons0/12928118_1011825795537210_6582124350935550288_n.jpg?dl=0
Problema 3:
Encuentra las ternas $(x,y,z)$ de enteros positivos que cumplen la siguiente ecuación:
$3^x-5^y=z^2$
Solución 3: https://www.dropbox.com/s/a997y02ux7dte7r/image.jpeg?dl=0
Problema 4: Sea $m$ un entero mayor a $1$. La secuencia $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$. Se define $x_{i}=2^{i}$ si $0\leq i\leq m-1$ y $x_{i}=x_{i-m}+x_{i-m+1}+\cdots +x_{i-1}$ si $i\geq m$. Encuentra el mayor valor $k$ para el cual la secuencia tiene $k$ términos consecutivos múltiplos de $m$.
Link correcto a solución: https://www.dropbox.com/sh/0db5mi64q247e09/AABiK3_4A_sN65plxgEliOBka?dl=0
Ahí vienen varias de mis soluciones pasadas que he puesto, pues por ciertas fallas los links de algunas soluciones no funcionan.
Corrijo mi solución del problema 2, tenia un detalle que se me fue:
https://www.dropbox.com/s/8qlqwn6tgkg9m13/N2c.jpg?dl=0
Hints para el problema 4: https://www.dropbox.com/s/r405zj0greidrht/Hint%20N4.pdf?dl=0
Solución 4: https://www.dropbox.com/s/i3eb5zxyftcciyl/Sol%20N4.jpg?dl=0
Problema 5: Determina todos los enteros $n\geq 2$ que satisfacen que para todos $a,b$ primos relativos con $n$, $a\cong b (mod n)$ si y solo si $ab\cong 1 (mod n)$.
Solución 5:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4naW8wTTdZOUxLbFU/view?usp=sharing
Problema 6:
Sea $n$ un entero positivo tal que $28n^2 + 1$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que $2 + 2\sqrt{28n^2 + 1}$ es un cuadrado perfecto.
Solución 6: https://www.dropbox.com/s/2h007v3cuf6se99/SolN6.pdf?dl=0
Problema 7: Definamos un número hermoso como un entero de la forma $a^n$ con $a = 3,4,5$ o $6$ tal que $n$ es un entero positivo. Demuestra que todos los enteros mayores que $2$ se pueden expresar como suma de enteros hermosos distintos.
Solución 7:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4neUZ5WmRPbDF3UUE/view?usp=sharing
Problema 8:
Determina todas las ternas de enteros positivos $(a, b, c)$ que satisfacen la ecuación
$$(a^3 + b)(b^3 + a) = 2^c$$
Y ahora, una solución un poco menos grotesca del 7:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nRm9hVzh3eGxyU0k/view?usp=sharing
Solución 8: https://www.dropbox.com/s/o41qdnfvqnk047g/Sol%20N8.pdf?dl=0
Problema 9: Sean $a,b$ números racionales tales que $a+b$ y $a^{2}+b^{2}$ son enteros. Prueba que $a$ y $b$ son enteros.
Solución 9:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nVGpBaWdyQ0JyWG8/view?usp=sharing
Alternativamente, una solución bien escrita del 9:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4ndGFqaHAtbmRKYUk/view?usp=sharing
Problema 10:
Determina todas las parejas de enteros positivos $(x, p)$ tales que $p$ es primo, $x \leq 2p$ y $x^{p - 1}$ divide a $(p - 1)^x + 1$.
Nota: Al principio de la segunda solución suponemos que $(p, q, r) = 1$.
Solucion 9:
https://www.dropbox.com/s/zvuu1ra1v08pjsl/Solucion%20N9.pdf?dl=0
Problema 10:
Denotemos con $d(a,b)$ al número de divisores del natural $a$, que son mayores o iguales que $b$. Encuentra todos los naturales $n$, para los cuales
$d(3n+1,1)+d(3n+2,2)+\ldots+d(4n,n)=2006.$
Publicar un comentario