viernes, 11 de marzo de 2016
Maratón Álgebra 1
Problema 0. Sea $n>1$ un entero. Encuentra todos los polinomios no constantes de coeficientes reales $P(x)$ que satisfacen para cualquier real $x$ la identidad $P(x)P(x^2)P(x^3) \cdots P(x^n) = P(x^{\frac{n(n+1)}{2}})$
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Solución Problema 0.
https://www.dropbox.com/s/9zfoxaxwchvut32/SolA0.pdf?dl=0
Problema 1.
Una sucesión de reales $a_1, a_2, \dots$ se define de la siguiente manera: $a_1$ es un real arbitrario, y para $n$ entero positivo:
$$a_{n + 1} = \lfloor a_n \rfloor \cdot \{ a_n \}$$
Muestra que $a_{i + 2} = a_i$ para toda $i$ suficientemente grande.
($\lfloor x \rfloor$ y $\{ x \}$ denotan parte entera y parte fraccionaria).
Hints Problema 1:
https://www.dropbox.com/s/7xnbk8ew20fko6f/HintsA1.pdf?dl=0
(Vienen dos hints, en hojas separadas. No le cambien de hoja si no quieren leer el segundo hint)
Solución Problema 1:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nMzg4QU1uQWhtNHM/view?usp=sharing
Problema 2:
Sean $a, b, c$ reales positivos tales que $a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$. Muestra que
$$\frac{1}{(2a + b + c)^2} + \frac{1}{(2b + c + a)^2} + \frac{1}{(2c + a + b)^2} \leq \frac{3}{16}$$
Solucion Problema 2:
https://www.dropbox.com/s/9eibcku9v3ailzs/Sol%20A2.pdf?dl=0
Problema 3:
Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2 \le 4$. Demuestra que $\dfrac{ab+1}{(a+b)^2} + \dfrac{bc+1}{(b+c)^2} +\dfrac{ca+1}{(c+a)^2} \ge 3.$
Solución 3:
https://www.dropbox.com/s/9eibcku9v3ailzs/Sol%20A2.pdf?dl=0
Problema 4:
Determina si existe una pareja de funciones estrictamente crecientes $f, g \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que
$$f(g(g(n))) < g(f(n))$$
Para toda $n \in \mathbb{N}$.
Link(correcto) de la solución del 3:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nVnl3cnNMa3NnY1E/view?usp=sharing
Solucion 4:
https://www.dropbox.com/s/huis83g3yoo1hte/Photo%2030-03-16%2014%2045%2010.jpg?dl=0
Sean $a,b,c$ numeros reales tales que la ecuacion $ax^2+bx+c=0$ tiene dos distintas raices reales $p_1$ y $p_2$ y la ecuacion $cx^2+bx+a=0$ tiene dos distintas raices reales $q_1$ y $q_2$, si $p_1,q_1,p_2 y q_2$ forman una progresion aritmetica en ese orden, muestra que $a+c=0$
Solución 5: https://www.dropbox.com/s/a997y02ux7dte7r/image.jpeg?dl=0
Problema 6: Sea $a_{1}, a_{2}, \cdots$ una secuencia infinita de números reales para los cuales existe $c$ real con $0\leq a_{i} \leq c$ tal que $\mid a_{i} -a_{j} \mid \geq \frac{1}{i+j}$ para todos $i,j$ diferentes. Prueba que $c\geq 1$.
Solución 6:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nYUs1eWFVeEdRbU0/view?usp=sharing
Problema 7:
Sea $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que
$$f(m + n) \geq f(m) + f(f(n)) - 1$$
Para todos $m, n \in \mathbb{N}$. Encuentra todos los valores posibles de $f(2007)$.
Hints problema 7:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4neElvYlEzLWdyYTA/view?usp=sharing
Solución Problema 7:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nRy1KWGllanRxREk/view?usp=sharing
Problema 8:
Sea $f$ un polinomio cuadrático y $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función. Supón que para cualesquiera $m, n \in \mathbb{R}$, la ecuación $f(x) = mx + n$ tiene al menos una solución real si y solo si la ecuación $g(x) = mx + n$ tiene al menos una solución real.
Demuestra que $f(x) = g(x)$ para toda $x \in \mathbb{R}$.
Solución 8: https://www.dropbox.com/s/vlf013f8uxocpbx/Sol%20A8.pdf?dl=0
Problema 9: Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $a+b+c=1$. Prueba que $\frac {\sqrt{a^{2}+abc}}{c+ab}+\frac {\sqrt{b^{2}+abc}}{a+bc}+\frac {\sqrt{c^{2}+abc}}{b+ca}\leq \frac{1}{2\sqrt{abc}}$.
Hints para problema 9:
https://www.dropbox.com/s/7acp5ti6s72uf46/Hint%20A9.pdf?dl=0
Solución 9: https://www.dropbox.com/s/awsh6tyt872l83p/Sol%20A9.png?dl=0
Problema 10: Encuentra todos los polinomios mónicos $p(x)$ de grado dos para los cuales existe un polinomio con coeficientes enteros $q(x)$ tal que $p(x)q(x)$ es un polinomio con todos sus coeficientes pertenecientes al conjunto ${1, -1}$
Solucion 10 viene en 2 partes:
parte 1:
https://www.dropbox.com/s/lxxn3re108x5y7d/13082507_1023847987668324_4000266718212992874_n.jpg?dl=0
parte 2:
https://www.dropbox.com/s/q84u1jw7mtrmcgu/12592371_1023847991001657_7703648332836513205_n.jpg?dl=0
Problema 11:
Si $a, b$ y $c$ son números reales positivos, prueba que:
$a ^ {3}b ^ {6} + b ^ {3}c ^ {6} + c ^ {3}a ^ {6} + 3a ^ {3}b ^ {3}c ^ {3} \geq{ abc \left (a ^ {3}b ^{ 3} + b ^ {3}c ^ {3} + c ^ {3}a ^ {3} \right) + a ^ {2}b ^ {2}c ^ {2} \left (a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} \right)}$
Corrección P11: No se alcanza a ver que hay un $a ^ {2}b ^ {2}c ^ {2} \left (a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} \right)}$ sumado en el lado derecho también
Solución 11:
https://drive.google.com/open?id=0B0SnHTSeowfjZDFtUHkyWmI5MVk
Problema 12:
Sean $a,b,c\geq 10$, prueba que
$\dfrac {2}{3}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) ^{2}\geq a^{3}\left( b+c\right)+b^{3}\left( c+a\right)+c^{3}\left( a+b\right)$
Corrección, $a,b,c\geq 0$
Solución 12: https://www.dropbox.com/s/203l7ngu109aawl/SolA12.pdf?dl=0
Problema 13: Sean $a,b,c,d$ reales positivos tales que $a+b+c+d=4$. Demuestra que
$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+d^2}+\dfrac{d}{1+a^2} \ge 2.$
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