lunes, 12 de junio de 2017

Problema del sábado 10 de junio.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumplen que para todos
$x$ y $y$ numeros reales
$$f(xf(y))+y+f(x)=f(x+f(y))+yf(x).$$
Posted by rvaldez at 1:46 p.m.

2 comentarios:

Ariel dijo...

$P(a, b)$ denota lo usual.

Si $f(1) \neq 1$ entonces con $P\left(\frac{f(1)}{f(1) - 1}, 1 \right)$ obtenemos que $1 = 0$, imposible. Luego $f(1) = 1$. Luego con $P(x, 1)$ deducimos que $f(x + 1) = f(x) + 1$.

Con $P(0, 2)$ deducimos que $f(f(2)) = 2$, y luego con $P(2, f(2))$ encontramos que $f(2)^2 = 2f(2)$ y entonces $f(2) \in \{0, 2\}$. Si $f(2) = 0$ entonces $f(f(2)) = 2$ da $f(0) = 2$ lo cual da una contradicción con $P(0, 0)$. Luego $f(2) = 2$.

Ahora, con $P(x, 2)$ tenemos

$$f(2x) + 2 = f(x + 2) + f(x)$$

Y como $f(x + 2) = f(x + 1) + 1 = f(x) + 2$ esto es simplemente $f(2x) = 2f(x)$. De aquí deducimos con $x = 0$ que $f(0) = 0$. Con $P(0, y)$ encontramos que $f(f(y)) = y$ para todo $y$ y entonces con $P(x, f(y))$:

$$f(xy) + f(x) + f(y) = f(x)f(y) + f(x + y) (*)$$

Sustituyendo $(2x, 2y)$ en $(*)$ y restando dos veces la expresión con $(x, y)$ y usando que $f(2x) = 2f(x)$ encontramos que $f(xy) = f(x)f(y)$, y por lo tanto por $(*)$, $f(x + y) = f(x) + f(y)$. Ya que $f$ es aditiva y multiplicativa se sigue que es lineal, y ya que $f(1) = 1$ se sigue que $f(x) = x$ para todo $x$ real, que claramente cumple.

12 de junio de 2017, 4:49 p.m.
rvaldez dijo...

Good!!

19 de junio de 2017, 1:12 p.m.

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