lunes, 23 de mayo de 2011
Problema del día 23 de Mayo (Centros)
Sean $a$ y $b$ entreros positivos con $a\ge 2$ y $b\ge 3$. Demuestra que $a^b+1\geq b(a+1)$ y determina cuándo se da la igualdad.
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4 comentarios:
La idea es usar inducción sobre b. Primero demuestras el caso base, b=3, y luego sale fácil el paso inductivo.
Para ver la igualdad ves que se cumple en a=2, b=3, ves que para valores más grandes la desigualdad se vuelve estricta (puedes ver eso con la inducción).
Demostrare los siguiente lemas:
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$LEMA$ $1$ : Para todo $b \ge 3$ entero, $2^b+1 \ge 3b$.
$DEMOSTRACION :$ Procedo mediante induccion sobre $b$.
CASO BASE ($b=3$):
$2^3+1 = 8+1 = 9 \ge 3*3$. Hecho.
PASO INDUCTIVO:
$2^{b+1}+1 = 2^b + (2^b + 1) \ge$
$2^b + 3b \ge 3+3b = 3(b+1)$, donde la primera desigualdad se obtiene de la hipotesis inductiva y la segunda de que $b \ge 3$.
Q.E.D.
El lema ha sido demostrado.
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$LEMA$ $2$ : Para todo $b \ge 3$ y $a \ge 2$ entero, $(a+1)^b - a^b \ge b$.
$DEMOSTRACION :$ Tenemos:
$ (a+1)^b - a^b = $
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{b-1} a^i*C(b, i)$
$ \ge \displaystyle\sum_{i=0}^{1} a^i*C(b, i)$
$ = 1+ab \ge ab \ge b$, pues $a \ge 2 \ge 1$, y terminamos. Q.E.D.
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Ahora demostremos el problema, mediante induccion con $a$.
CASO BASE: $a=2$.
Tenemos $2^b+1 \ge 3b$ por el $LEMA$ $1$.
PASO INDUCTIVO:
Tenemos:
$(a+1)^b + 1 = (a^b + 1) + $
$((a+1)^b - a^b)$
$\ge b(a+1) + b = b(a+2)$, donde la desigualdad se deriva de la hipotesis inductiva y del $LEMA$ $2$.
Hemos acabado. Q.E.D.
$\blacksquare$
Oh perdon. Claramente si $a \ge 3$, como en el paso de la inducción, nos olvidamos de $\displaystyle\sum_{i=2}^{b-1} a^i*C(b, i)$, que, como $b \ge 3$, tiene al menos un termino (positivo claramente). Asi que si $a \ge 3$, la igualdad no se da. Si $a=2$, usamos que $2^b \ge 3$, nunca se da la igualdad. Asi, se debe dar el caso base. Es decir, $a=2$ , $b=3$, para la igualdad.
Usaremos inducción sobre $b$.
Con $b=3$ tenemos que $a(a^2-3)\geq 2$, pero como $a\geq 2$ tenemos que $a^2-3\geq 1$, por lo que el caso base es cierto.
Ahora supongamos que $a^k\geq ka+k$. Veamos que $a^{k+1}+1-a^k-1=(a-1)\cdot a^k$ y que $(k+1)(a+1)-k(a+1)=a+1$. Entonces, veamos que $(a-1)\cdot a^k>a+1$, lo que implica que $a((a-1)\cdot a^{k-1}-1)>1$, pero $a>1$ y $a-1\geq 1$, $a^{k-1}>1$, entonces tenemos que $(a-1)\cdot a^{k-1}-1>1$, por lo que es cierto que $(a-1)\cdot a^k>a+1$.
Entonces tenemos que como $a^k+1\geq k(a+1)$, tenemos que
$a^k+(a-1)\cdot a^k+1>k(a+1)+a+1$ por lo que
$a^{k+1}+1>(k+1)(a+1)$, y queda probada la desigualdad.
Ahora, vemos que para $k>3$, no se da la igualdad, por lo que la igualdad se da si y solo si $k=3$, pero queremos que $a^3+1=3a+3$ lo que nos lleva a $a(a^2-3)=2$, y como $a\geq 2$, y $a^2-3\geq 1$, la igualdad se da si y solo si $a=2$.
Probamos $a=2, b=3$ y tenemos $9=2^3+1=3(2+1)=9$, y funciona. Entonces la igualdad se da si y solo si $a=2, b=3$.
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