sábado, 22 de mayo de 2010

Solucion al problema de 22 de mayo (Diego)

Supongamos que n cumple, con n mayor a 1. Digamos que Tau(n) es el numero de factores de n. Tenemos que Tau(ab)=Tau(a)Tau(b) si (a,b)=1, y Tau(n) mayor o igual a 2 para todo n mayor a 1.
Tenemos que (2^n-1,2^n+1)=(2^n-1,2)=1
Tau(2^(2n)-1)=Tau(2^n-1)Tau(2^n+1) >= 2Tau(2^n-1)>2n, porlotanto 2n tambien cumple.
Haciendo eso infinitamente, encontramos una infinidad.
Tomando a n=12 que cumple, se completa la demostracion.


EDIT: Tambien podemos empezar con cualquier I impar diferente que 1.
Tenemos que
Tau(2^(2^(r+1) I)-1)=Tau(2^(2^r I)-1)Tau(2^(2^r I)+1)
Pero como 2^k+1 es primo solo cuando k es potencia de 2, y 2^r * I no lo es, entonces Tau no es primo asi que Tau(2^(2^r I)+1) mayor o igual a 3. (Dehecho solo es 3 cuando 2^(2^r I)+1 es potencia de primo, pero por Catalan eso solo se da si 2^r * I =3, osea r=0, I=3 y en el resto de los casos es minimo 4)

Asi que tenemos que la secuencia (Tau(2^I-1),Tau(2^(2I)-1),Tau(2^(4I)-1),...,Tau(2^(2^r I)-1),...) crece exponencialmente minimo a razon 3(4 para la mayoria de los casos), frente a la secuencia =I,2I,4I,...,2^r I,...) que crece siempre a razon 2, asi que para un m suficientemente grande tenemos que para todo q mayor a m
Tau(2^(2^q I)-1) > 2^q I
Con lo que hay una infinidad (para cada I>1).
Para I=1, se cumple para todo q mayor a 5, ya que Tau(2^(2^6)-1)=2^7, y la secuencia minimo crece con razon de 2, asi que siempre sera mayor de ahi en adelante.

1 comentario:

Quique12 dijo...

Buena solución. Que padre que le agregaste cosas para explicar como puedes generar más familias infinitas.
Lo que me pregunto yo es si se puede demostrar que para la mayoría de las n se cumple. Por ejemplo, haciendo cálculos, todos los múltiplos de 12 cumplen hasta 252. Está difícil calcular para números más grandes. Entonces la pregunta es, podremos demostrar que todos los múltiplos de 12 cumplen?

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