lunes, 31 de mayo de 2010

Problema del dia 31 de mayo

En una fiesta cada invitado recibe dos sombreros uno rojo y uno azul. Al comenzar la fiesta, todos los invitados se ponen el sombrero rojo. Varias veces a lo largo de la fiesta, el locutor anuncia el nombre de alguno de los invitados y, en ese momento, el nombrado y cada uno de sus amigos se cambian el sombrero que llevan puesto por el del otro color. Demostrar que el locutor puede lograr que todos los invitados tengan puesto el sombrero azul. Dificultad 5 de IMO

6 comentarios:

José Luis Miranda Olvera dijo...

Hola, ese problema es el mismo que habiamos hecho en una tarea del año pasado, decia que si teniamos una grafica con todos los puntos de color blanco o negro, y en cada turno podiamos elegir un vertice y cambiarlo de color junto con aquellos que estaban unidos a el. Y demostrar que si todos estaban inicialmente de color blanco, podiamos cambiarlos todos a negro

José Luis Miranda Olvera dijo...

La solucion es demostrar que se puede hasta cierto n, suponer que no se puede para n+1 puntos. Entonces como esten los puntos, podemos elegir un punto y cambiarlos todos de color excepto ese. Entonces si escogemos cada punto una vez, todos quedan de color negro, excepto los que tienen grado impar, que son una cantidad par de puntos. Agrupandolos en parejas, podemos cambiar de color solo esos dos puntos, y los demas que queden iguales, ya que podemos tomar uno y cambiar de color todos los demas, luego tomamos el segundo y cambiar de color todos excepto ese; todos cambian de color dos veces y los dos que escogimos una vez. Por lo tanto si se puede para n+1 puntos.

DANIELIMO dijo...

De hecho creo que el problema tambien lo vimos este año en un entrenamiento

IrvinG dijo...

Si, vimos este problema en Colima con Pablo, creo que es de Alemania.

Georges dijo...

Si... yo pase a resolverlo en Colima.

Pero no creo que este tan dificil para ser imo 5 o si??

IwakuraIsa dijo...

Jeje, le mencione este problema a un amigo no olimpico y me contesto "es facil, nomas dices el nombre del festejado" jajaja (ya despues le explique que podia haber "colados" jeje)

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