sábado, 22 de mayo de 2010

solucion prob. 22 de mayo (flavio)

Tomemos n=2^k
Entonces
2^n-1= 2^2^k - 1 = (2^(2^(k-1))+1) * (2^(2^(k-1))-1)
= ... = (2^(2^(k-1))+1) * (2^(2^(k-2))+1)*...*(2^2+1)*(2^2-1)
= (2^(2^(k-1))+1) * (2^(2^(k-2))+1)*...*(2^2+1)*(2^1+1)*(2^1-1)
= (2^(2^(k-1))+1) * (2^(2^(k-2))+1)*...*(2^2+1)*(2^1+1)*(1)
Ademas, sabemos que si a < b entonces (2^(2^a)+1,2^(2^b)+1)=1, ya que si p|2^(2^a)+1 y p|2^(2^b)+1, entonces
p|(2^(2^a)+1)*(2^(2^a)-1)=2^(2^(a+1))-1
pero como a < b entonces a+1<=b
entonces 2^(a+1) | 2^b
entonces 2^(2^(a+1))-1 | 2^(2^b)-1
entonces p|2^(2^b)-1 pero p|2^(2^b)+1
entonces
p|2^(2^b)+1-(2^(2^b)-1) = 2
pero 2^(2^b)+1 es impar, entonces (p,2)=1
entonces p|1 entonces (2^(2^a)+1,2^(2^b)+1)=1
entonces si s(r)= numero de divisores de r,
entonces
s(2^n-1)=s(2^(2^(k-1))+1) * s(2^(2^(k-2))+1)*...*s(2^2+1)*s(2^1+1)
ya que son primos relativos por parejas dos a dos.
Ahora veamos que s(i)>=2 para toda i>1, ya que 1, i son divisores distintos de i.
y que ademas hay k terminos en la multiplicacion de la derecha
(s(2^(2^0)+1), ..., S(2^(2^(k-1))+1))) y como cada uno es mayor o igual a 2, entonces su multiplicacion
es mayor o igual a 2^k=n, para ver que s(2^n-1)>n, tomemos k>5, ya que sabemo que
s(2^(2^5)+1)>2 ya que no es primo (contraejemplo a que 2^(2^n)+1 es primo siempre).
Entonces si k>5 entonces uno de esos factores sera mayor a 2 estrictamente entonces la multiplicacion
sera mayor estrictamente a 2^k=n entonces todos esos n=2^k cumplen, con k>5.

2 comentarios:

IrvinG dijo...

Se nos ocurrió exactamente lo mismo! jajaja

Fénir dijo...

que agradable es ver que la mayoria lo hizo. Este problema esta pensado en lo que vimos de construccion de conjuntos, encontrar una solucion particular y generar otra apartir de esa, as´i lo habia pensado originalmente pero los otras soluciones tambien son interesantes.

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