sábado, 22 de mayo de 2010

Solucion al problema 22 de Mayo (Manuel)

Primero veamos que n=12 cumple. T(n) es el numero de divisores positivos de n. Entonces T(2^12-1)=T(4095)=T(3^2*5*7*13)=24>12, si cumple. Ahora sabemos que T(2^12 +1)>=2 ya que es un numero mayor que 1 y pues al menos es primo y al menos tiene 2 divisores. Luego multiplicando las 2 desigualdades T(2^12-1)T(2^12 +1)>2(12) entonces como T es una funcion multiplicativa y sabemos ademas que (2^12-1,2^12+1)=1 ya que son ambos impares a diferencia 2. Por lo tanto la desigualdad quedaria T((2^12-1)(2^12+1))=T(2^24-1)>24, con lo que encontramos otro n que cumple n=24. Luego haciendo lo mismo con induccion supongamos que T(2^(2^k*3)-1)>2^k*3 para alguna k, (ya hicimos el caso para k=2,3). Entonces sabemos que T(2^(2^k*3)+1)>=2 por el mismo argumento de que es mayor que 1 y al menos es primo. Ademas (2^(2^k*3)-1,2^(2^k*3)+1)=1 ya que son 2 numeros a distancia 2 impares.Entonces multiplicando ambas como T es una funcion multiplicativa tenemos que T(2^(2^k*3)-1)*T(2^(2^k*3)+1)=T(2^(2(2^k*3))-1)>2^(k+1)*3 y entonces T(2^(2^(k+1)*3)-1)>2^(k+1)*3 y entonces encontramos otro numero que cumple y terminamos la induccion entonces sabemos que T(2^(2^k*3)-1)>2^k*3 para k=2,3,... entonces encontramos una infinidad de numeros n=2^k*3 para k=2,3,... fin.

1 comentario:

Quique12 dijo...

Muy bien Manuel. Que tal tratar de demostrar que todos los múltiplos de 12 cumplen? (o encontrar contraejemplo).

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