miércoles, 26 de mayo de 2010

Problema

Este es un problema de nivel IMO.

Sean a y b dos enteros postitivos que son primos relativos y tambien a-b es impar.

Si S es el conjunto con la propiedad de que a y b estan en S y que si x,y,z estan en S entonces x+y+Z esta en S.

Demuestra que todo entero mayor a 2ab esta en S

3 comentarios:

IrvinG dijo...

x,y,z distintos? Si son distintos entonces qué pasa cuando los únicos números en S son a y b?

Carlos dijo...

No el problema no dice que son distintos.

Flavio dijo...

Pues segun yo ya me salio pero no estoy seguro por que me salio la cota un poco holgada.
Es conocido que si c>=(a-1)*(b-1), (a,b)=1, entonces c puede ser escrito como
combinacion lineal positiva de a y b. Es decir, c = ax+by con x,y>=0
ahora veamos que si k esta en S entonces k+2a y k+2b estan en S, y tambien
k+2ax+2by esta en S con x,y>=0
como a y b estan en S entonces todos los numeros de la forma
a+2ax+2by y los de la forma b+2ax+2by estan en S.
a+2(ax+by)
b+2(ax+by)
entonces tomemos un c>=(a-1)(b-1) entonces
a+2c y b+2c estan en S, por que c se puede escribir de la forma ax +by con x,y>=0
ademas como a-b es impar entonces uno de a y b es impar y uno de a y b es par.
supongamos sin perdida de generalidad que a es impar y b es par.
entonces todos los numero impares de la forma a+2c con c>=(a-1)(b-1)
entonces todos los impares mayores o iguales a a+2(a-1)(b-1) estan en S
y todos los pares mayores o iguales a b+2(a-1)(b-1) estan en S
ahora veamos que los impares mas grandes o iguales a a+2ab-2b-2a+2 estan en S
y los pares mayores o iguales a b+2ab-2b-2a+2 tambien.
entonces los impares >= 2ab-2b-a+2 y todos los pares >= 2ab-b-2a+2
pero b y a >=1 entonces 2ab-2b-a+2<2ab y 2ab-b-2a+2<2ab entonces todos los numeros
(impares y pares) mayores o iguales a 2ab estan en S, que es lo que queria demostrar

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