miércoles, 19 de mayo de 2010

Problema de prueba

Este problema es más que nada para ver si funciona la alternativa a LateX de subir imágenes de las fórmulas. Es de la Olimpiada de Bulgaria.

¿Existirá una función f de los naturales en los naturales tal que


para todo n >1?

3 comentarios:

El niño dijo...

No se nota bien si los signos son mas o menos, pero dándole click a la imagen (la ecuación) el dibujo se ve perfecto. ¿El dibujo lo hiciste con Print Screen?

IrvinG dijo...

No, lo hice con un programa que se llama Latex it!

Manuel Dosal dijo...

Hola tengo una solucion para ese problema.
Veamos primero que la condicion indica f(n+1)=f(f(n-1))+f(n). Como f((n-1))>0, entonces f(n+1)>f(n) para toda n>=2.
Luego sabemos que f(2)>=1, porque la imagen de la funcion son los naturales. Luego por induccion si f(k)>=k-1 para alguna k>=2, entonces f(k+1)>f(k)>=k-1, entonces f(k+1)>=k, entonces f(k)>=k-1 para n>=2. Luego viendo f(n-1)>=n-2 para n-2>=2 si y solo si n>=4. Luego vemos que si m>=n>=2 entonces f(m)>=f(n) por lo que dijimos anteriormente de que es estrictamente creciente apartirde2.
Luego f(n-1)>=n-2 implica f(f(n-1))>=f(n-2)>=n-3 para n>=4.
Entonces [f(n+1)=f(f(n-1))+f(n)>=(n-3)+(n-1)=2n-4 (*)].
Luego para n=9 en la condicion tenemos que f(10)=f(f(8))+f(9), pero como f(8)=f(7+1)>=2(7)-4 por lo que demostramos en (*) para n>=4. Entonces f(8)>=10, y luego f(f(8))>=f(10). Sustituyendo en la condicion. f(10)=f(f(8))+f(9)>=f(10)+f(9). Entonces 0>=f(9) Contradiccion y a que la funcion va a los naturales. Fin.

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