miércoles, 19 de mayo de 2010

Solución al problema del día

A ver si aquí si se puede...

Sean p_1, P_2,...,p_t todos los primos menores que n. Entonces t=pi(n), donde pi(x) es el la cantidad de primos menores o iguales que x. Sea r_i un entero positivo tal que
p^r_i< o=" n" i="1,2,...,t.">n ln(n)/(1.25506n log n)

=ln(n)/[1.25506 log n]= ln 10/1.25506
= 1.83464... >1

26 comentarios:

IwakuraIsa dijo...

Yo digo que de preferencia, para tener mas organizacion, pongan las soluciones en los comentarios del respectivo problema

IwakuraIsa dijo...

Y por cierto, blogspot no sporta LATEX

IrvinG dijo...

pues eso intenté pero se corta, puedes escribir muy poco

IrvinG dijo...

Ya sé, pero hay una forma de meter las fórmulas como imágenes y funciona casi igual...

David (sirio11) dijo...

Yo no veo problema en que lo hagan en un nuevo post si se necesita mas espacio como dice Irving

IwakuraIsa dijo...

mmm, a lo mejor puedes hacer un pdf, subirlo a algun lado, y luego pasarnos el link

IrvinG dijo...

Por fin, después de mucho batallar ya está mi solución. Espero que esté bien.

IwakuraIsa dijo...

Quizas si sea buena idea poner posts aparte, lo que me he dado cuenta es que estos comentarios tienen un limite de caracteres muy grande(es muy raro que falte espacio), pero se cortan los posts cuando utilizas '>' y '<', esto es porque lo confunde con codigo HTML, y pues que flojera estar buscando donde se esta causando el problema.

Quique12 dijo...

Esta bien.
De hecho usando el teorema de los números primos en todo su poder puedes demostrar que [1,2,...,n] < 3^n. Hay una prueba bonita pero complicada para demostrar menor a 3^n.
Para demostrar 10^n, hay una prueba bonita tambien.

Quique12 dijo...

La solución está bien. Hay una solución que no requiere el teorema que mencionas sobre pi(n).

Por ejemplo usando pi(n) < 1.25 n/ln n como lo usas, puedes demostrar que [1,2,...,n] < 4^n. Esto lo puedes demostrar de otra manera más creativa (más olímpica).

Hay una demostración usando combinatoria que demustra que [1,2,...,n] < 3^n. Pero esa no me la sé bien.

Quique12 dijo...

Ya los había puesto, pero por alguna razón no salieron:
La solución está bien. Hay una solución que no requiere el teorema que
mencionas sobre pi(n).

Por ejemplo usando pi(n) < 1.25 n/ln n como lo usas, puedes demostrar
que [1,2,...,n] < 4^n. Esto lo puedes demostrar de otra manera más
creativa (más olímpica).

Hay una demostración usando combinatoria que demustra que [1,2,...,n]
< 3^n. Pero esa no me la sé bien.

David (sirio11) dijo...

No han aparecido los comentarios de kike, porque ???????????

Quique12 dijo...

Ya había puesto este post hace rato, pero por alguna razón no salía:

Esta bien.
De hecho usando el teorema de los números primos en todo su poder
puedes demostrar que [1,2,...,n] < 3^n. Hay una prueba bonita pero
complicada para demostrar menor a 3^n.
Para demostrar 10^n, hay una prueba bonita tambien.

IrvinG dijo...

Si, yo tampoco los puedo ver. En la página de inicio dice que hay 15 comentarios pero sólo puedo ver 7...

David (sirio11) dijo...

Este es uno de los comentarios que hizo Quique (que me llegaron al mail y por alguna extraña razón no están apareciendo
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Esta bien.
De hecho usando el teorema de los números primos en todo su poder puedes demostrar que [1,2,...,n] < 3^n. Hay una prueba bonita pero complicada para demostrar menor a 3^n.
Para demostrar 10^n, hay una prueba bonita tambien.
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David (sirio11) dijo...

Este es el segundo de los comentarios que hizo Quique (que me llegaron al mail y por alguna extraña razón no están apareciendo
=========
La solución está bien. Hay una solución que no requiere el teorema que mencionas sobre pi(n).

Por ejemplo usando pi(n) < 1.25 n/ln n como lo usas, puedes demostrar que [1,2,...,n] < 4^n. Esto lo puedes demostrar de otra manera más creativa (más olímpica).

Hay una demostración usando combinatoria que demustra que [1,2,...,n] < 3^n. Pero esa no me la sé bien.
========
Estos comentarios si los estan viendo?

IrvinG dijo...

Si, imaginé que había una solución más bonita. ¿Podrías poner un comment con una sugerencia para ver si se me ocurre la otra manera?
He estado pensando pero no se me ha ocurrido otra forma...

Hector Garcia dijo...

Una alternativa de postear las soluciones es hacerlo pdf, y simplemente poner el link como comment
(y el pdf tenerlo en google docs, o scrib, o cualquier pagina de internet que permita alojar documentos para compartir)

IwakuraIsa dijo...

Yo ya habia dicho lo que dijo hector en uno de los comentarios perdidos xD

Quique12 dijo...

Digamos que f(n) = m.c.m[1,2,3,...,n].
Queremos demostrar que f(n) < 10^n.
La sugerencia es considerar f(2n+1)/f(n+1). Puedes ponerle una cota a esto?

David (sirio11) dijo...

Sigh ... otro post perdido en el ciberespacio de Quique
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Digamos que f(n) = m.c.m[1,2,3,...,n].
Queremos demostrar que f(n) < 10^n.
La sugerencia es considerar f(2n+1)/f(n+1). Puedes ponerle una cota a esto?
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IwakuraIsa dijo...

YA SE VEN LOS COMENTARIOS!!

Quique12 dijo...

Excelente!
Borre algunos de los que repetí, pero aún se ven varios de los que escribi.

Quique12 dijo...

Sugerencia:
Si f(n) = m.c.m[1,2,3,...,n]
Que relación tiene f(2n+1)/f(n+1) y (2n+1) en (n+1)?

Diego627 dijo...

ya lo resolvi cuasi-olimpicamente (involucra casos en los que se tiene que usar calculadora por logaritmos y demases), pero creo que hay una mejor solucion

Quique12 dijo...

Que usaste para la demostración Diego? Usaste el teorema que menciona Irving (el de pi(n) < 1.25 n/ln{n})?

Hay una solución donde pueden demostrar todo ustedes (es decir, no depende de un mega teorema como el de pi(n) < 1.25 n/ln(n)).

La idea es ver que F(2n+1)/F(n+1) < 2n+1 en n+1

donde F(n) = m.c.m[1,2,3,...,n]

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