viernes, 21 de mayo de 2010

Solución Problema 20 mayo

Aquí está mi solución, no sé si sea igual que la que postearon ayer, pero de todas formas la pongo.

Primero, es conocido que H_1 está sobre el circuncírculo de ABC, entonces ACBH_1 es un cuadrilátero cíclico ortodiagonal. Sean M_2, M_3 y M_4 los puntos medios de BH_1, AH_1 y BC, respectivamente. Sea S el punto de intersección de MM_2 con M_3M_4. Tenemos que MM_3M_2M_4 es un rectángulo, ya que M_2M_4 y MM_3 son paralelas a CH_1 por ser los puntos medios de los lados; M_2M_3 y MM_4 son paralelas a AB, además AB y CH_1 son perpendiculares. Llamemos Z al rectángulo anteriror.

Por otra parte, como ACBH_1 es ortodiagonal se tiene que M_2C_1 es perpendicular a AC, así que M_2, C_1 y Q son colineales. De manera análoga M_4, C_1 y P son colineales, al igual que M_3, C_1 y R.

Voy ahora a mostrar que P, R y Q están sobre la circunferencia X circunscrita a Z. Los ángulos M_4RM_3 y M_4MM_3 son rectos, así que M_4RM_3M es cíclico y por lo tanto R está sobre X. De igual manera P y Q están sobre X porque PM_4MM_3 y QM_2M_3M son cíclicos. Entonces el circuncentro de PQR es S y como S es punto medio de MM_2, entonces M_2=M_1.

2 comentarios:

IrvinG dijo...

Mmm, tengo problemas ajustando el tamaño de la figura, ahora lo corrijo...

IrvinG dijo...

Bueno, si le dan click a la imágen ya se ve bien.

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