Examen 3 de la Competencia de Invierno!!!

Problema 1. ¿Cuál es el menor $n\in \mathbb{N}$ tal que todo subconjunto de $n$ elementos de $\{1,2,...,20\}$ contiene dos números con diferencia 8?

Problema 2. ¿Para cuántos enteros positivos $n$ se cumple que el polinomio $nx^{4}+4x+3$ tiene al menos una raíz real?

Problema 3. Si las alturas de un triángulo miden 12, 15 y 20, ¿cuánto mide el ángulo interior más grande?

Problema 4. Una caja rectangular de m x n x p tiene la mitad de volumen que una caja rectangular de (m+2) x (n+2) x (p+2), donde m, n y p son enteros. Encontrar el máximo valor posible de p.

Problema 5. Dada una sucesión finita $S=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ de $n$ números reales, definimos $A(S)$ como la sucesión de $n-1$ números

\[ \left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2},\frac{a_{2}+a_{3}}{2},\ldots,\frac{a_{n-1}+a_{n}}{2}\right) \]

Definimos también $A^1(S)=A(S)$ y para cada entero $m$, mayor que 1 y menor que $n$, $A^{m}(S)=A(A^{m-1}(S))$. Supongamos que $S=(1,x,x^{2},...,x^{2011})$ y que $A^{2011}(S)=(556^{2011})$. Encuentra $x$.

Problema 6.Sea $ A_{k}=\frac{k(k-1)}{2}\cos\frac{k(k-1)\pi}{2}, $.Calcula $ A_{19}+A_{20}+...+A_{98}$

Problema 7. ¿Para cuántas parejas de enteros positivos $(x,y)$ es cierto que $y$ es mayor que $x$ y menor que $10^{6}$ y que

\[ \frac{x+y}{2}= \sqrt{xy}+2 \]?

Problema 8. Sea $f$ una función real definida en los enteros que cumple

\[ f(n)-(n+1)f(2-n)=(n+3)^{2} \]

Determina $f(0)$.

Problema 9. Determina el menor entero positivo $n$ tal que cualquier conjunto de enteros positivos primos relativos por parejas, mayores que 1 y menores que 2005, contiene al menos un número primo.

Problema 10. Dos circunferencias con centros $A$ y $B$ tienen radios 3 y 8, respectivamente y no se intersectan. Una tangente interior común toca a las circunferencias en $C$ y $D$, respectivamente. $AB$ y $CD$ se cortan en $E$ y $AE=5$. ¿Cuánto mide $CD$?

Problema 11. ¿Para cuántos enteros positivos $k$ se tiene que $12^{12}$ es el mínimo común múltiplo de $6^{6}$, $8^{8}$ y $k$?

Problema 12. Un círculo está inscrito en el cuadrilátero $ABCD$ y es tangete a $AB$ en $P$ y a $CD$ en $Q$. Si $AP=19$, $PB=26$, $CQ=37$ y $QD=23$, ¿cuánto vale el cuadrado del radio del círculo?

Problema 13. Si escribimos los número del 1 al 999, uno tras otro para formar el número 1234567891011...998999, ¿cuántas veces aparece el “21” en este número?

Problema 14. Consideremos los polinomios $ P(x)=x^{6}-x^{5}-x^{3}-x^{2}-x $ y $Q(x)=x^{4}-x^{3}-x^{2}-1$ . Sean $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ y $z_{4}$ las raíces de $Q(x)$, encuentra $ P(z_{1})+P(z_{2})+P(z_{3})+P(z_{4}) $.

Problema 15. Sea $n$ la cantidad de cuartetas ordenadas $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ de enteros positivos impares tales que su suma es 98. Encuentra $\frac{n}{100}$.