México rumbo a la IMO: Competencia de Invierno: Examen #7 (1 hora)

Recuerden el codigo de honor !!!!!!!!!!!!!

1- Dada una función $f$ para la cualse cumple para todo real $x,$ cual es el numero mas grande de valor3s diferentes que pueden aparecer en la lista $f(0),f(1),f(2),\ldots,f(999)?$

2- Sea $S$ la suma de todos los numeros de la forma $a/b,$ donde $a$ y $b$ son primos relativos divisores positivos de $1000.$ Cual es el entero mas grande que no se pasa de $S/10$ ?

3- En el triangulo $ABC,$ es dado que los angulos $B$ y $C$ son congruentes. Los puntos $P$ y $Q$ yacen en $\overline{AC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente, de tal forma que $AP = PQ = QB = BC.$ El angulo $ACB$ es $r$ veces tan grande como el angulo $APQ,$ donde $r$ es un numero real positivo. Encontrar el mayor entero que no se pasa de $1000r$ .

4- Supongan que $x,$ $y,$ and $z$ son 3 números positivos que satisfacen las ecuaciones $xyz = 1,$ $x + \frac {1}{z} = 5,$ $y + \frac {1}{x} = 29.$ Entonces $z + \frac {1}{y} = \frac {m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encontrar $m + n$ .

5- En el triangulo $ABC, AB=13, BC=15,$ y $CA = 14.$ El punto $D$ esta en $\overline{BC}$ con $CD=6.$ El punto $E$ esta en $\overline{BC}$ tal que $\angle BAE\cong \angle CAD.$ Dado que $BE=\frac pq$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $q.$

6- Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros que satisface $P(17)=10$ y $P(24)=17.$ Dado que $P(n)=n+3$ tiene 2 distintas soluciones enteras $n_1$ y $n_2,$ encuentra el producto $n_1\cdot n_2.$

7- Sea $\displaystyle m$ un entero positivo, y sea $a_0, a_1,\ldots,a_m$ una sucesion tal que $\displaystyle a_0 = 37, a_1 = 72, a_m = 0,$ y $a_{k+1} = a_{k-1} - \frac 3{a_k}$ para $k = 1,2,\ldots, m-1.$ Encontrar $\displaystyle m.$

8- Dado que $O$ es un octaedro regular, que $C$ es el cubo cuyos vertices son los centros de las caras de $O,$ y que la razon del volumen de $O$ al volumen de $C$ es $\frac mn,$ donde $m$ y $n$ son enteros primos relativos, encontrar $m+n.$

9- Los circulos $C_1$ y $C_2$ son tangentes externamente, y ambos son internamente tangentes al circulo $C_3.$ Los radios de $C_1$ y $C_2$ son 4 y 10, respectivamente, y los centros de los 3 circulos son colineales. Una cuerda de $C_3$ es tambien una tangente externa comun de $C_1$ y $C_2.$ Dado que la longitud de la cuerda es $\frac{m\sqrt{n}}p$ donde $m,n,$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $p$ son primos relativos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningun primo, encontrar $m+n+p.$

10- Encontrar el numero de enteros positivos que son divisores de al menos uno de $10^{10},15^7,18^{11}.$

11- Considera sucesiones que consisten enteramente de $A$ 's y $B$ 's y que tienen la propiedad que cada conjunto de $A$ 's consecutivas tiene longitud par, y cada conjunto de $B$ 's consecutivas tiene longitud impar. Ejemplos de sucesiones son de este tipo son $AA$ , $B$ , y $AABAA$ , mientras que $BBAB$ no seria una sucesion del tipo. Cuantas sucesiones de este tipo tienen longitud 14?

12- Sea $S_i$ el conjunto de todos los enteros $n$ tal que $100i\leq n < 100(i + 1)$ . Por ejemplo, $S_4$ es el conjunto ${400,401,402,\ldots,499}$ . Cuantos de los conjuntos $S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$ no contienen un cuadrado perfecto?

13- De el conjunto de enteros $\{1,2,3,\dots,2009\}$ , escoge $k$ pares $\{a_i,b_i\}$ con $a_i<b_i$ tal que no hay 2 pares que tengan un elemento en comun. Supongan que todas las sumas $a_i+b_i$ son distintas y menores o iguales que $2009$ . Encuentra el maximo valor posible de $k$ .

14- Encuentra el mayor entero $n$ que satisface las sigs condiciones:

(i) $n^2$ puede ser expresado como la diferencia de 2 cubos consecutivos;