Funcional

Tenemos un entero $n \ge 2$ fijo, y una función $f$ $:$ $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Se cumple que si $x$ y $y$ son números reales, entonces

 $f(x-f(y))=f(x+y^n)+f(f(y)+y^n)$. 

Encuentra todas las posibles funciones $f$ que cumplen ésto.

Números

Ana y Bruno juegan a un juego. Ana escoge un número natural no primo, $n$, luego Bruno escoge un natural $m$. Bruno gana si $m|n$, $m \le \sqrt{n}$ y $\tau(n) \le \tau(m)^3$. De otra manera, gana Ana. ($\tau$ es la función del número de divisores). ¿Quién puede asegurar la victoria?

Juego

Aberardo y Baltazár juegan a un juego. Aberardo tiene un crayón color rojo y Baltazár tiene uno color azul. También se dispone de un crayón color púrpura, y de un lápiz. Con el lápiz dibjan un círculo. Primero, Aberardo escoge un número natural $n$, mayor que 2.

Luego, Aberardo pinta un punto de la circunferencia con su crayón, y luego Baltazár pinta un punto (distinto al de Aberardo) con su crayón. Se continúa haciendo ésto, alternando entre Aberardo y Baltazár, hasta que cada uno ha pintado $n$ puntos con su crayón. (Nota: Dos puntos no pueden ser iguales. Es decir, si es mi turno, debo pintar un punto en la circunferencia que no ha sido pintado antes ni de rojo ni de azul). Al conjunto de los $2n$ puntos le llamo $S$.

Ahora bien, a un punto dentro del círculo, $P$, le asigno el conjunto de puntos, $C_P$, tal que:
(a) $C_P$ es un subconjunto de S.
(b) Si $X \in C_P$ y $Y \in S$ pero Y no está en $C_P$, entonces $PX \textless PY$.
(c) SI $X,Y \in C_P$, entonces $PX=PY$.
Luego, Aberardo colorea de rojo todos los puntos $P$ dentro del círculo tal que $C_P$ contiene solamente a puntos rojos, y Baltazár colorea de azul todos los puntos $Q$ dentro del círculo tal que $C_Q$ contiene solamente a puntos azules. Al final, se colorean de púrpura los puntos $P$ tal que $C_P$ contiene puntos rojos y azules.

Aberardo gana si el área roja es mayor o igual a la azul, y Baltazár gana si el área azul es mayor (estrictamente) a la roja.

¿Existe una estrategia ganadora? En caso de que sí, ¿para quién?

Problema

Definimos el conjunto $\Gamma$ como el conjunto de naturales $n$ tal que se pueden acomodar los elementos de $[n]$ (es {1,2,..,n}) alrededor de un círculo tal que la diferencia de dos consecutivos es 3, 4, 5, -3, -4 ó -5, siempre. Determina si $\Gamma$ cumple las siguientes propiedades:
(A) Sólo una cantidad finita de sus elementos no pertenecen a {$\phi (n)$ | $n$ natural}
(B) Todos los primos mayores a 30 pertenecen a él.
(C) Todos los números perfectos mayores a 6 pertenecen a él.

Otro de Geo

ABC con AB=AC. D punto medio AB. La mediatriz de AB y la de CD se intersectan en E. F es la intersección de AC y la tangente por D al circuncírculo de BED.Demuestra que AF/FC=2/3.

Problema De Combinatoria

Tenemos un tablero estilo triángulo equilatero partido en $n²$ pequeños triángulos equiláteros. Tenemos un $k$ tal que hay $k$ alfiles en el tablero. Dos alfiles se atacan si están en la misma diagonal (hay 3 tipos de diagonales, horizontales, de izquiera abajo a derecha arriba y de izquierda arriba a derecha abajo). No hay dos alfiles que se ataquen. Calcula la máxima $k$ posible tal que ésto puede pasar, en función de $n$.

Problema de Geometria

Un triangulo ABC tiene un excirculo w con centro J. w toca a los lados AB, BC y CA en F, E y D, respectivamente. Resulta que DE es perpendicular a AB, y que DE y AB se intersectan en G. Ahora, X es el pie de altura desde F hasta GJ. Entonces, calcula le medida de los ángulos BXD y AXE.