Problemas 24 junio

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $O$ y $H$ su circuncentro y ortocentro. Sea $P_A$ y $Q_A$ puntos sobre $OA$ y $BC$ (respectivamente) tales que $OP_AHQ_A$ es un paralelogramo. Defino $P_B, P_C, Q_B, Q_C$ análogamente. Demostrar que

$\displaystyle\frac{OQ_A}{OP_A}+\displaystyle\frac{OQ_B}{OP_B}+\displaystyle\frac{OQ_C}{OP_C} \ge 3$

Dedicado a Luis

2. En $ABC$ sea $P$ un punto interior y sea $A_1,B_1,C_1$ los puntos de intersección de $AP$, $BP$, $CP$ con el circuncírculo de $ABC$, respectivamente. Sea $A_2$ tal que $BA_2CA_1$ es paralelogramo y defino $B_2$ y $C_2$ análogamente. Sea $H$ el ortocentro de $ABC$. Mostrar que $A_2B_2C_2H$ es un cuadrilátero cíclico.

Dedicado a Xavi

Encuentra todas las funciones de reales positivos a reales positivos tales que:
$f(f(x)^2y)=x^3f(xy)$
Dedicado a Diego

Mock Kevin

Examen mock Oscar

Examen MOCK Juan

Examen Mock Luis Chacón

Diego Roque Examen

Mi examen: http://imgur.com/a/wQqzO

Así hay menos amontonamiento y solo ven las imagenes si das clicl. 

Examen IMO Mock 1 Soluciones Xavi

Examen IMO mock 1

Problema 1. Encuentra todos los enteros poitivos $x$, $y$ tales que
$p^x$ − $y^p = 1$ donde $p$ es primo.



Problema 2. Para cualesquiera números reales no negativos $a$, $b$, $c$, $d$ muestra
$$(ab)^{\frac{1}{3}} + (cd)^{\frac{1}{3}} \leq ((a+c+b)(a+c+d))^{\frac{1}{3}}.$$



Problema 3. Sea $ABC$ un triángulo equilátero de lado $L$. Sea $\mathcal{C}$ y $\mathcal{M}$ el circuncírculo y el incírculo, respectivamente de $ABC$. Sea $P$ un punto en   $\mathcal{M}$ y sean $P_1$, $P_2$, $P_3$ las proyecciones de $P$ sobre $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Los círculos $\mathcal{T}_1$, $\mathcal{T}_2$ y $\mathcal{T}_3$ son tangentes a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $P_1$, $P_2$ y $P_3$, respectivamente, y a $\mathcal{C}$ internamente, mientras que sus centros estan en diferentes lados de $BC$, $CA$, $AB$ con respecto a $A$, $B$, $C$. Muestra que la suma de las longitudes de las tangentes externas comunes de $\mathcal{T}_1$, $\mathcal{T}_2$ y $\mathcal{T}_3$ es constante.

Un (n,k)-torneo es un concurso con n participantes hecho en k rondas tal que:
i) Cada participante juega en cada ronda y cada 2 participantes jugaron a lo más una vez;
ii) Si el jugador A se enfrenta a B en la ronda i, C se enfrenta a D en la ronda i, y A se enfrenta a C en la ronda j, entonces B se enfrenta a D en la ronda j.
Determinar todos los pares (n,k) tales que existe un (n,k)-torneo.


Sea ABCD un cuadrilátero cíclico. Sean E y F puntos variables en los lados AB y CD, respectivamente, tales que AE/EB=CF/FD. Sea P el punto en el segmento EF tal que PE/PF=AB/CD. Probar que la razón de las áreas de los triángulos APD y BPC no depende de la elección de E y F.

Encuentra todas las secuencias finitas $(x_0, x_1,..., x_n)$ tales que para toda $j$, $0\leq j\leq n$, $x_j$ es igual a la cantidad de veces que el numero $j$ aparece en la secuencia.

Dedicado a Oscar.


Sean $a>b>c>d$ enteros positivos tales que $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$. Prueba que $ab+cd$ no es un numero primo.

Dedicado a Juan.

Cinco problemas

Como no pude poner problemas la semana pasada, pondré los de la semana pasada hoy. Y ya de pasada cinco para que sea uno para cada uno.


Sean $f$ y $g$ dos polinomios con coeficientes enteros, tal que $f$ tenga mayor grado que $g$. Supongan que hay infinitos primos $p$ tal que $pf+g$ tiene una raiz racional. Demuestren que $f$ tiene una raiz racional.

Dedicado a: Oscar



Sea $f$ una funcion de naturales a naturales, $f^m$ es $f$ aplicada $m$ veces. Supon que para cada natural $n$ existe un minimo natural $k_n$ tal que $f^{2k_n}(n)=n+k_n$. Demuesta que $k_1,k_2,...$ no esta acotada.

Dedicado a: Kevin

Sea $P$ un punto adentro o en la frontera del triangulo $ABC$.  Sea $d_a,d_b,d_c$ las distancias de P a $BC,CA,AB$ respectivamente. Demuestren que $max(AP,BP,CP)$ es mayor o igual a $ \sqrt{d_a^2+d_b^2+d_c^2}$.. Encuentra cuando se da la igualdad

Dedicado a: Chacon

Sea un tablero de $3n$ x $3n$ tal que cada columna y fila este numerada del $1$ al $3n$, y $(a,b)$ la casilla en la fila $a$ y columna $b$.  Se pinta cada casilla de color A,B o C respectivamente si $a+b$ es congruente a $0,1,2$ modulo $3$. Aparte, se ponen $3n^2$ monedas de cada color A,B,C tal que quede una en cada casilla (no necesariamente casilla del mismo color).
Supon que puedes permutar las monedas tal que una moneda de color A quede donde estaba una de color B, una de color B donde estaba una de color C y una de color C donde estaba una de color A. Supon que en esta permutación la mayor distancia que se movió una moneda es $d$.
Demuestra que desde la configuración antes de esa permutación, se puede mover cada casilla una distancia de a lo más $d+2$ tal que cada moneda quede en una casilla de su color.

Dedicado a: Xavi


Sea $f$ una función de reales a reales tal que $f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$ para todo $x,y$ reales. Encuentra todas las $f$ posibles.

Dedicado a: Juan.

Examen IMO mock

Hola a todos

Estamos planeado aplicarles un examen IMO-mock el sábado próximo.
Les explico la mecánica brevemente:

El sábado 21 de Junio escribiré un examen tipo IMO en este blog, el examen será de las 9:00 am a las 13:30 pm. Al finalizar ustedes mandaran sus soluciones, ya sea escritas o por foto, al blog para que sean revisadas.

Saludos

Rogelio

17 junio

1. Un número bonito es un número de la forma $3^a$, $4^a$, $5^a$ ó $6^a$ para alguna $a \ge 1$. Muestra que todo número natural mayor a $2$ puede ser escrito como suma de números bonitos distintos.

(Por ejemplo, $11=5+4$, $39=6^2+3$, $32=5^2+4+3$).

Dedicado a: Samuel

2. Sea $ABC$ un triángulo y $X$ un punto variable sobre el rayo $BC$ más allá de $C$. Sea $l$ el eje radical de los incírculos de los triángulos $ABX$ y $ACX$. Muestra que, al variar $X$, la línea $l$ pasará por un punto fijo.

Dedicado a: Diego

Lo pongo temprano porque ya me voy a ir a dormir. 

Problema del dia 16-jun

Sea $ABCD$ Un paralalelogramo. A variable line g through the vertex Una linea $g$ por $A$ intersecta a los rayos $BC$ y $DC$ en $X$ y $Y$ respec. Sean $K$ y $L$ los excentros con respecto a $A$ de $ABX$ y $ADY$. Muestra que el angulo $KCL$ es independiente de la eleccion de $g$. 


Dedicado a Chacon

Encuentra todas las funciones de reales positivos a reales positivos tales que se cumple $f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$

Dedicado a Xavi

Problema del día 14/06/2014

Sea P un polígono convexo. Demuestra que existe un hexágono contenido dentro de P cuyo área es al menos 3/4 el área de P.
Dedicado a: Juan.

Sea ABC un triángulo y P un punto exterior a el en el plano. Supon que AP, BP y CP interctan a los lados BC, CA, AB (o sus extensiones) en D, E y F respectivamente. Ademas, supón que las áreas de los triángulos PBD, PCE y PAF son iguales. Demuestra que esas áreas son igual al área de ABC.
Dedicado a: Diego.

Problema del día. 13/06/14

La función $F$ está definida de los enteros no negativos a los enteros no negativos y satisface la siguiente condición: Para cada $n \geq 0$,

• $F(4n)=F(2n)+F(n)$,
• $F(4n+2)=F(4n)+1$,
• $F(2n+1)=F(2n)+1$

Probar que para cada entero positivo $m$, el número de enteros $n$ con $0 \leq n \leq 2^m$ y $F(4n)=F(3n)$ es $F(2^{m+1})$

La secuencia $f(1), f(2), f(3), ...$ está definida por

$$f(n)=\frac{1}{n} \left (\left \lfloor \frac{n}{1} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \frac{n}{n} \right \rfloor \right )$$

• Probar que $f(n+1)$ es menor a $n$ para infinitas n.
• Probar que $f(n+1)$ es mayor a $n$ para infinitas n.

Problema del Dia 12-06-14 (Xavi)

Sean $C$ y $O$ dos circulos que se cortan en $M$ y $N$. Sea $AB$ la tangente comun a esos circulos de forma que $M$ esta mas cerca de $AB$ que $N$. Sean $X$ y $Y$ las reflexiones de $A$ y $B$ por $M$, y sean $E$ y $F$ las intersecciones del circuncirculo de $MXY$ con $C$ y $O$, respectivamente. Muestra que los circuncirculos de $EMF$ y de $ENF$ tienen el mismo radio.

Dedicado a Willy.


Hallar todas las parejas de enteros no negativos $(x,y)$ tales que $x^3+y$ y $y^3+x$ son ambos multiplos de $x^2+y^2$.

Dedicado a Chacón.

Panda

problema...

en un tablero $2n$ x $2n$ coloreamos de negro algunas casillas, tal que toda casilla (negra o no) tenga al menos un vecino negro. ¿mínimo cuántas casillas coloreé?

Dedicado a: Xavi

problema...

tenemos un tablero triangular equilátero (con líneas horizontales, a 60º y a 120º) que apunta hacia arriba de lado $n$. le quitamos $n$ de sus casillas que apuntan hacia arriba. muestra que el tablero resultante puede ser llenado con diamantitos (que son dos casillas que comparten un lado) si y sólo si todo triángulo equilátero que apunta hacia arriba de lado $k$ tiene a lo más $k$ hoyos.

Dedicado a: Óscar

22 de enero. Juan. Reto de recíprocos

Encuentra todas las funciones $f$ inyectivas de los naturales a ellos mismos que satisfacen que si $\sum_{x \in S} \frac{1}{x}$ es entero para un conjunto finito de naturales $S$, entonces $\sum_{x \in S}\frac{1}{f(x)}$ también es entero.

Problema 21-01-14

Perdon por la tardanza pero se me dificultó subirlo antes.

Encuentra todas las funciones $f$ de naturales a naturales. Tal que para toda $n$, $m$ y $p$ con $p$ primo se cumple que $p$ divide a $f(n+m)$ si y solo si $p$ divide a $f(m)+f(n)$.

20 Enero

Considerse los polinomios
$$ f_n(q) =\sum\limits_{i = 0}^n{c(n,i){q^i}} $$

Con $n\in \mathbb{N}$ tal que $c(n,i)\equiv \binom{n}{i}\pmod{2}$ y $c(n,i)\in \{0,1\}$. Sean $r,s,q$ enteros positivos tal que $q+1$ no es potencia de $2$. Demuestra que si $f_r(q)|f_s(q)$ entonces $f_r(m)|f_s(m)$ para toda m positiva.

Problema del sábado 11 de enero. CONOCIDOS.

Bueno, ya es domingo, pero igual postearé un problema del sábado, perdonen el retraso. También, sé que este problema ya lo conoce Diego pero me pareció muy bonito. Además tiene varias soluciones muy distintas. Así que lo comparto.

Tenemos una gráfica finita de $2000$ vértices donde no puede haber más de una arista entre dos vértices y no hay aristas que vayan de un vértice a él mismo. Diré que dos vértices son amigos si son adyacentes. Diré que dos vértices son "conocidos" si tienen un amigo en común. La gráfica tiene un millón de aristas. Demuestra que hay al menos $999000$ parejas de conocidos.

Problema del Día 11-01-14 (Xavi)

Sea $p$ un primo impar y sea $P(x)=x^{p}-x+p$. Muestra que $P(x)$ es irreducible en el conjunto de los polinomios de coeficientes enteros.

Problema del Día 10-01-14 (Xavi)

Perdonen el retraso
Hallar todas las funciones $f$ que vayan de los naturales a los naturales tales que:

$f^{f(n)}(n)=n+1$

Donde $f^{k}(n)$ es el resultado de aplicar la función $f$ a $n$ $k$ veces

Problema del Jueves. Escalera

Se colorean todos los lados y diagonales de un 1001-ágono de naranja o verde. Muestra que puedo tomar 334 segmentos disjuntos por parejas, todos del mismo color.

Nota: dos segmentos son disjuntos si sus vértices son distintos y no se intersectan.

Problema del Día 08-01-14 (Xavi)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $DA+AC=DB+BC$ y sea $P$ la interseccion de las bisectrices externas de los ángulos $\angle{DAC}$ y $\angle{DBC}$. Muestra que $\angle{APD}=\angle{BPC}$.

Problema del Miércoles. Reto numérico

¡El blog no ha muerto!

Problema:
Quieres hacer una biyección $f : \mathbb{Z}^2 \mapsto \mathbb{N}$, es decir, de los puntos látice a los naturales.

Tu biyección debe satisfacer que si $A,B,C$ son colineales, entonces $mcd(f(A), f(B), f(C)) = 1$.

Por ejemplo, $f((-1,-1))=10$, $f((1,1))=4$ y $f((2,2)) = 6$ no se vale.

¿Existe tal biyección?