Problema del día (Adán)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $\omega$ y $\Omega$ su circunferencia inscrita y circunscrita respectivamente, tales que $I$ es centro de $\omega$. Sea $X$ el punto de tangencia de $\omega$ con $BC$ y sea $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$. Sea $M$ el punto medio de $AD$. La recta $MX$ corta a $\omega$ de nuevo en $Y$, y la perpendicular a $MX$ por $I$ corta a $BC$ en $N$. Las rectas $NW$ y $NZ$ son tangentes a $\Omega$ en $W$ y $Z$ respectivamente. Muestra que los puntos $W, X, Y, Z$ están sobre una circunferencia.

Desigualdad del día (Jorge 'Chuck')

Sea $n\geq 2$ y sean $a_1, a_2,\dots, a_n$ reales. Demuestra que para cada subconjunto no vacío $S$ de los enteros del uno al $n$ se da que: \[\left(\sum_{i\in S}a_i\right)^2\leq \sum_{1\leq i\leq j\leq n}(a_i+\dots+a_j)^2\]

Problema del día 05 de junio (Julio)

Dos desigualdades bonitas:
1._ Encontrar el valor mínimo de $ F(x,y)=\sqrt{(x+1)^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}} $ , donde. 
2._ Sea $n \ge {2}$  y  $0 \le x_{i} \le 1$ para toda $i = 1,2,...n$. Encuentra el valor máximo de
$(x_1 + x_2 + ... + x_n) - (x_1x_2 + x_2x_3 + ... + x_nx_1)$  y determina cuándo se alcanza.

Problemas del dia lunes 4 de junio (Jorge)

En los problemas de IMO es común que sea útil reducir cierto proceso a un caso más pequeño haciendo una especie de recurción. Me parece que es muy importante tener presente esa idea y saberla manejar bien, para ahorrar tiempo en un problema del estilo. Así que aquí pongo tres de ellos.

1. Sea $n\geq 1$ un entero. Un camino es un camino de $(0,0)$ a $(n,n)$ en el plano $xy$ es una sucesión de movimientos unitarios consecutivos, ya sea hacia la derecha (movimiento denotado por $D$) o hacia arriba (movimiento denotado por $A$), todos los movimientos hechos dentro del medioplano $x\geq y$. Un escalón en el camino es el suceso de dos movimientos consecutivos $DA$. Demuestra que el número de caminos de $(0,0)$ a $(n,n)$ que contienen exactamente $s$ escalones es:

$\frac{1}{s}\binom{n-1}{s-1}\binom{n}{s-1}$ 

(IMO SL 1999)

2. Sea $n$ un natural y $A_n$ el conjunto de las permutaciones $(a_1,..., a_n)$ del conjunto $\{ 1, 2,..., n\}$ tal que $k|2(a_1+...+a_k)$ para todo $1\leq k\leq n$.

Encuentra el número de elementos en $A_n$.
(IMO SL 2008)

3. Sea $n\geq 2$ se nos da una balanza con $n$ pesas con pesos $2^0, 2^1,...,2^{n-1}$. se deben de poner las $n$ pesas sobre la balanza, una detrás de otra de modo que el plato derecho sea siempre más pesado que el plato izquierdo. En cada paso se escoge una de las pesas que no se hayan utilizado y se pone ya sea en el platillo derecho o en el izquierdo, hasta que todas las pesas se hayan puesto.

Determina el número de formas en que esto se puede hacer.
(IMO 2011)

Problema del día (Diego)

Sea $\tau(n)$ el numero de divisores positivos de un numero natural $n$. Encontrar todas las funciones de los naturales a los naturales $f$ tal que
$d(f(x))=x$
$f(xy)$ divida a $(x-1)y^{xy-1}f(x)$
Para todo $x,y$ enteros naturales.

Problema del día, Viernes 1 de junio del 2012 (Juan).

(a) Tengo una gráfica donde cada vértice tiene grado al menos 50 y a lo más 100. Tengo 1331 colores. Demuestra que puedo colorear cada vértice de modo que todo vértice V tenga 20 (o más) amigos todos coloreados de diferente color.
(b) El mismo problema, pero con 49 colores, no 1331.

Problema del día (Adán)

Determina todas las parejas $\left(m, n\right)$ tales que $m, n, \frac{n^{3}+1}{mn-1} \in \mathbb{Z}^{+}$.

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $\Omega$ y $\omega$ su circunferencia circunscrita e inscrita respectivamente. Sean $D, E, F$ los puntos de tangencia de $\omega$ con los lados $BC, CA, AB$ respectivamente y sean $X, Y, Z$ los puntos medios de los arcos menores $BC, CA, AB$ de $\Omega$. Muestra que $DX, EY, FZ$ son concurrentes.

Sucesiones Aritméticas y Geométricas

Prueba que para cada entero positivo $n\geq 3$ existen sucesiones $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ de enteros positivos de manera que la primera es sucesión aritmética y la segunda es geométrica tales que $b_1\textless a_1\textless b_2\textless\dots\textless b_n\textless a_n$ y da un ejemplo de ambas para $n=5$.

Problema del dia 29 de mayo

Dado un conjunto de círculos unitarios en el plano cuya área total es $S$. Prueba que entre dichos círculos existen cierto número de ellos que no se intersectan (en más de un punto) cuya área total es mayor o igual a $\left(\frac{2}{9} \right)S$

Problema del dia 28 de mayo (Jorge)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. $M$,$N$ son puntos en $AB$,$AC$ respectivamente, tal que $\angle HMB=\angle HNC= 60^{\circ}$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $HMN$. $D$ es un punto del mismo lado que $A$ respecto a $BC$ tal que el triángulo $BCD$ es equilátero. Demuestra que $H, O, D$ son colineales.

Problema del día Sábado 26 de Mayo (Diego)

Problema 1. 

Sean $b,n\geq 2$ numero naturales tal que para cada $k\geq 2$ natural exista un entero $a_k$ que cumpla que $b-a_k^n$ es multiplo de $k$. Demuestra que $b=A^n$ para algún $A$ natural. 

Problema 2. 

Sea $n$ un numero natural. Demuestra que 

\[ \binom{2^{n}-1}{0},\;\binom{2^{n}-1}{1},\;\binom{2^{n}-1}{2},\;\ldots,\;\binom{2^{n}-1}{2^{n-1}-1} \]

Son congruentes modulo $2^n$ a $1,3,\ldots, 2^n-1$ en algún orden.

Problema del día viernes 25 de mayo. (Juan)

Sea ABC un tríangulo cuyo menor lado es BC. U está en el arco menor BC del circuncírculo de ABC. Las mediatrices de AB y AC intersectan a AU en X y Y, respectivamente. BX y CY se intersectan en T. Muestra que AU mide lo mismo que la suma de las longitudes de los segmentos BT y CT.

Problema del día Jueves 24 de Mayo (Adán)

Determina todas las $n \in \mathbb{Z}^{+}$ tales que $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ es entero.

Area blanca y negra, problema del día 23 de Mayo

Hay un tablero de ajedrez infinito, para cada pareja de enteros $m,n$ consideramos un triángulo rectánculo con vértices compartidos con la cuadrícula y con sus catetos paralelos a los ejes del tablero. Sean $S_{b}$ y $S_{n}$ el área total de blanco y de negro dentro del triángulo respectivamente. Sea $f(m,n)=|S_{b}-S_{n}|$.
a) Encuentra todos los posibles valores de $f(m,n)$ para $2|m-n$.
b) Prueba que $f(m,n)\leq \frac{max\{m,n\}}{2}$.
c) Prueba que $f(m,n)$ no está acotada por arriba.

Problema del día martes 22 de mayo (Julio)

Encuentra todas las funciones de los reales a los reales tales que: para todos los reales .

Problema del dia 21 de mayo (Jorge)

Sean $\omega _1,\omega _2$ dos circunferencias. Sea $S$ el conjunto de tríangulos $ABC$, tal que $\omega _1$ es su circuncírculo y $\omega _2$ su excírculo, $\omega _2$ es tangente a $BC, AC, BC$ en $D,E,F$ respectivamente.
Para todo $ABC$ en $S$, demuestra que el gravicentro del $DEF$ es un punto fijo.

Problema Del Día, Viernes 18 de mayo del 2012 (Juan)

Va poquito temprano.
Determina todas las funciones f de reales a reales tales que para todos x,y reales,
$f\left(x-f(y)\right)=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$.

Problema del Día, Jueves 17 de Mayo (Adán)

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC+BC=3AB$. Sea $I$ el incentro de $ABC$ y sean $D$ y $E$ los puntos de tangencia del incírculo de $ABC$ con los lados $BC$ y $AC$ respectivamente. Sean $X$ y $Y$ los reflejados de $D$ y $E$ con respecto a $I$ respectivamente. Muestra que el cuadrilátero $ABYX$ está sobre una circunferencia.

Problema del Día, Miércoles 16 de Mayo (Chuck)

Sean $r_{1},r_{2},\dots,r_{n}$ reales positivos mayores o iguales a $1$. Prueba que: \[\frac{1}{r_{1}+1}+\frac{1}{r_{2}+1}+\dots+\frac{1}{r_{n}+1}\geq \frac{n}{\sqrt[n]{r_{1}r_{2}\dots r_{n}}+1}.\]

¡Fecha del siguiente entrenamiento!

¡Hola a todos! Creo que ya en estos días les escribirá Rogelio acerca del entrenamiento. Será en el IMTA, pero las fechas NO son las del engargolado, las fechas serán del 3 al 13 de mayo. Saludos a todos.

Resultados APMO

Roque
Montoya Diego Alonso 7 7 7 2 0 23


Garza Vargas Jorge 7 7 3 7 0 24


Ortiz Rhoton Juan Carlos 7 7 3 0 0 17


Medrano Martín del Campo Adán 7 7 2 0 0 16


González Cázares Jorge Ignacio 7 7 1 2 0 17


Díaz Calderón Julio César 7 7 0 0 0 14


Chiu Han Enrique 7 7 0 7 0 21


Sánchez Gómez José Angel 1 7 2 4 0 14


Astiazarán Tobín Alberto
Manuel 1 7 2 7 0 17


Guardiola Espinosa José Ramón 7 0 2 0 0 9


García Alvarez Ramón Iván 1 1 0 2 0 4


De la Paz Espinosa José
Alberto 2 0 2 0 0 4


Terán Ríos Diego 0 7 0 7 0 14

Problema del Viernes 30

Demuestre sin usar el Teorema de Dirichlet que si $(a,b)=1$, entonces existen una infinidad de enteros $k$ tales que $(ak+b,n)=1$ para todo $n$ natural.

Problema del día: Salón

Se tiene un salón con un acomodo de asientos de $m\times 2$. Hay un alumno sentado en cada asiento. El profesor les pide a los alumnos que cambien de lugar al dar una señal. La condición para cambiar es que se muevan a un asiento que esté a la izquierda, derecha, enfrente o atrás del suyo.

¿De cuántas formas puede ocurrir este cambio si al final también queda un alumno en cada asiento?

Problema del dia: Viernes

Sean $a_k< a_{k-1}<\cdots< a_1< n$ enteros positivos tales que $m.c.m(a_i,a_j)\le n$ para todo $i$, $j$ entre $1$ y $k$. Demuestre que $ia_i\le n$.

Problema del Día: Miercoles 21 de Marzo de 2012

Sea ABCD un cuadrilatero convexo tal que DB=BC=CA. AC y BD se intersectan en P. Sea I el incentro del triangulo BPC y sea O el circuncentro del triangulo APD. Demuestra que OI es perpendicular BC

Problema del día: Libros y estantes

En una biblioteca hay $n$ estantes, cada uno con al menos un libro. Se compran $k$ nuevos estantes y los libros se ordenan en los $n+k$ estantes, una vez más, con al menos un libro por estante.

Un libro se le llama privilegiado si está en un estante con menos libros que antes. Muestra que hay al menos $k+1$ libros privilegiados.

CDI: Lunes 19 de Marzo de 2012

Siguiendo el tono de la pasada CDI, les tengo unas preguntas preparadas sobre la sociedad en la que viven y su generación, por favor tómense el tiempo para contestar lo mas ampliamente que puedan, aunque no vean claro cual es el objetivo de las preguntas, confíen en que este existe, mas adelante lo veremos con mas detalle.

Las preguntas las puse en blanco para que vayan contestando de una por una antes de ver las otras (vayan seleccionando con el cursor para que las vean)

1- Que opinas de la sociedad en la que vives?

2- Cuales son los valores mas importantes en nuestra sociedad?

3- Cuales son los valores importantes para tu generación, la gente de tu edad?

4- Cuales dirías que son los valores mas importantes para ti?

5- Cuales son los problemas mas importantes de nuestra sociedad?

6- Cuales son los problemas mas importantes de tu generación?

7- Cuales son tus problemas mas importantes en este momento?

8- De quien depende resolver los problemas de la sociedad? Por que no se han resuelto?

9- De quien depende resolver los problemas de tu generación? Por que no se han resuelto?

10- De quien depende resolver tus problemas? Por que no se han resuelto?

11- A que piensas que aspira el mexicano promedio?

12- A que piensas que aspira el preparatoriano promedio?

13- Cuales son tus aspiraciones?

14- Por que la gente no logra realizar sus aspiraciones? Es mas culpa de ellos, o existe tal cosa como el maldito destino?

15- Que evitaría que tu realices las tuyas?

Continuara .........

Problema del Día: Jueves 15 de Marzo de 2012

Para $a,b>0$, sea $f(a,b)$ la raíz positiva de la ecuación
$$
(a+b)x^2 - 2(ab-1)x - (a+b) = 0.
$$
Sea $M=\{(a,b)~|~a\neq b, f(a,b)\leq\sqrt{ab}\}$. Determine el mínimo de $f(a,b)$ para $(a,b)\in M$.

Problema del dia: Viernes

Encuentra todos los enteros $1 < a < b < c$ tales que $(a-1)(b-1)(c-1)|abc-1$

Problema del Día: Jueves 1ro de Marzo de 2012

Hallar el mayor número real $k$ con la siguiente propiedad: Para cualesquiera números positivos $a,b,c$ tales que $kabc>a^3+b^3+c^3$, exista un triángulo de lados $a,b,c$.