Re:Problema de Navidad

Bueno, un poco tardado pongo la solucion pero ahi va.

Sea A=(0,0),B=(1,0), P=(p,0) y R=(1,r). Con estos puntos ya estan definidos todos los demas. La recta RP tiene pendiente (r-0)/(1-p)=-r/(p-1) y pasa por R=(1,r). Luego de aritmetica trivial, llegamos a que la recta es y+rx/(p-1)=rp/(p-1) (*RP*).

Como Q=(0,q) y esta en RP entonces cumple esa ecuacion (*RP*). porlotanto q=rp/(p-1).

Entonces Q=(0,rp/(p-1)).

La recta AR tiene la ecuacion -rx+y=0 (*AR*), mientras que la recta BQ tiene la ecuacion qx+y=q (*BQ*).

La recta AL como es perpendicular a BQ entonces tiene la ecuacion -x+qy=cte. Pero como A esta en la recta entonces -0+0q=cte, sea la recta AL entonces tiene la ecuacion -x+qy=0 (*AL*)

La recta BK es perpendicular a AR porlotanto tiene la ecuacion x+ry=cte_2. B esta en esa ecuacion porlotanto 1+0r=cte_2, porlotanto la ecuacion de BK es x+ry=1, osea x+ry=1 (*BK*).

Tenemos que K es la interseccion de BK y AR entonces K cumple (*BK*) y (*AR*).

Saltandonos el algebra trivial, tenemos que K=(1/(r^2+1),r/(r^2+1)).

Por metodos similares sacamos que L=(q^2/(q^2+1),q/(q^2+1))

Tenemos que S=(0,s) y cumple (*BK*) y T=(1,t) y cumple (*AL*) asi que resolviendo tenemos que S=(0,1/r), T=(1,1/q).

Para demostrar que P, K, L son colineales tenemos que demostrar que las pendientes de PK y PL son las mismas porque asi PK y PL serian paralelas y como comparten P serian la misma. Similarmente para demostrar que P, S, T son colineales tenemos que demostrar que las pendientes de PS y PT son las mismas.

La pendiente de PK es (p-1/(r^2+1))/(0-r/(r^2+1))=-(pr^2+p-1)/r

La pendiente de PL es (p-q^2/(q^2+1))/(0-q/(q^2+1))=-(pq^2+p-q^2)/(q). Ahora sustituimos q=rp/(p-1) y tenemos que la pendiente es -(p(rp/(p-1))^2+p-(rp/(p-1))^2)/(rp/(p-1)) y expandiendo y eliminando nos da que es igual a -(pr^2+p-1)/r. Porlotanto PK y PL son paralelas y como comparten P deben ser la misma linea.

La pendiente de PS es (p-0)/(0-1/r)=-rp

La pendiente de PQ (p-1)/(0-1/q)=(-p+1)/q=(-p+1)/((p-1)/(rp))=-rp porlotanto PS y PQ son paralelas y entonces tienen que ser la misma linea.

Fernando Añorve: respuesta al problema de navidad

Problema de fin del 2010 (Re: A nasty problem)

Para los que quieren empezar 2011 con un buen reto. Este problema nadie lo resolvio en el ciclo olimpico anterior, veremos si en este hay mas suerte.


Tienen 32 números naturales tales que a_1+a_2+a_3+.......+a_32 = 120

Todas las a's pertenecen al conjunto {1,2,3,4,...........,59,60}

Demostrar que puedes encontrar 2 colecciones disjuntas (particiones) de los 32 números, tales que la suma de los elementos de una colección es igual a la suma de los elementos de la otra.

Panda

Regalo de Navidad

Pues acá les dejo un problema de regalo de Navidad jaja, para que vayan calentando...

En una recta $l$ hay tres puntos $A,B,P$, en ese orden. Sean $a$ y $b$ rectas perpendiculares a $l$ en $A$ y $B$, respectivamente. Una línea que pasa por $P$, distinta de $l$, intersecta a $a$ en $Q$ y a $b$ en $R$. La perpendicular a $BQ$ que pasa por $A$ corta a $BQ$ en $L$ y a $BR$ en $T$. La perpendicular a $AR$ que pasa por $B$ corta a $AR$ en $K$ y a $AQ$ en $S$.

(a) Demostrar que $P,T$ y $S$ son colineales.

(b) Demostrar que $P,K$ y $L$ son colineales

Competencia de Invierno 2010-2011: Examen # 1

Limite para publicar respuestas: 10:30PM (30 minutos)

En los comentarios de este mismo post publicaran las respuestas, la primera respuesta publicada correcta sera la que reciba los puntos. Respuestas incorrectas publicadas antes de la primer respuesta correcta, recibirán puntos negativos.
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Problema #1

$a + \frac{1}{b}=4$, $b + \frac{1}{c}=1$,$c+ \frac{1}{a}=\frac{7}{3}$;  encontrar el valor de $abc$  si $a,b$ y $c$ son reales positivos

Problema #2

En el triangulo $ABC$,$AB = 2$, $BC = 4$; el lado $AC$ y la mediana $BD$ miden lo mismo; encontrar el valor de $AC$

Problema #3

Un circulo con centro en A de radio 1 y un circulo con centro en B de radio 4 son tangentes exteriormente. Un tercer círculo es tangente a los primeros 2 y a una de sus tangentes exteriores comunes. Encontrar el radio del tercer círculo.

Problema #4

Cuantos números de 4 digitos $N$ tienen la propiedad de que si eliminas el 1er digito (el de la izquierda), el numero resultante de 3 dígitos es $\frac{1}{9}$$N$

Problema #5

Un cuadrado y un triangulo equilatero tienen el mismo perímetro. Sea  el area del circulo circunscrito al cuadrado y  el área del circulo circunscrito al triangulo. Encontrar .

Problema #6

Un pano contiene los puntos  y  con . Sea  la union de todos los discos de radio  en el plano que cubren . Cual es el area de ?

Problema #7

Tres esferas mutuamente tangentes de radio  están sobre un plano horizontal. Una esfera de radio 2 esta sobre las 3 esferas. Cual es la distancia del plano a la cima de la esfera grande?

Problema #8

Sea . Para cuantos polinomios  existe un polinomio  de grado 3 tal que ?

Problema #9

Una linea pasa a través de  y . Cuantos puntos con coordenadas enteras estan en la linea estrictamente entre  y ?

Problema #10

Un numero se llama cuasi-primo si es compuesto pero no es divisible por  o 5. Los 3 cuasi-primos mas pequeños son , y . Hay  números primos menores que . Cuantos cuasi-primos hay menores que ?

Problema #11

Cuantos subconjuntos no vacíos  de  tienen las siguientes 2 propiedades?

 No existen 2 números consecutivos en .

 Si  contiene  elementos, entonces  no contiene ningún numero menor a .

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Los que se quieran quedar a comentar las respuestas correctas son bienvenidos aquí en el blog después de las 10:30PM o por Skype

Panda

Competencia de Invierno en el blog

La primera se llevara a cabo este Lunes 27 de Diciembre a las 10PM (tiempo de el centro), con duración de entre 30 minutos y 1 hora.

Tienen que entrar con la cuenta con la cual se registraron en el blog, puesto que esta dirigida solo para los primeros lugares (pre-IMOs) y el blog estará abierto solo para autores y estará bloqueado para todos los demás.

La idea es ponerles una serie de problemas que tengan respuesta numérica o que tengan respuesta clara (i.e. el conjunto de las potencias de 3). Cada problema valdrá 1,2 o 3 puntos pero ustedes no sabrán su valor, en los comentarios del examen escribirán sus respuestas, tienen que escribir el numero del problema Y la respuesta, el primero que la escriba correctamente es al que se le otorgan los puntos, si su respuesta es errónea se les otorgaran puntos negativos.
Pueden empezar a trabajar en el problema que quieran al empezar el examen, por ejemplo si se publican 20 problemas, pueden intentar (por estrategia) empezar con el 17 y luego el 8 o como quieran, también pueden ir viendo cuales ya están comentados y si creen que la respuesta de esos es correcta pues ya trabajar en otro.

Hay un codigo de honor al participar, entre otras cosas incluye trabajar individualmente, no intercambiar informacion ni hablarse entre ustedes en el momento del examen (por MSN, Skype, celular, etc); asi como tampoco ponerse a "Googlear" los problemas para buscar la solución o cualquier otra cosa que implique hacer trampa o agarrar ventaja  desleal en el examen.

Habra ganadores en cada concurso y el campeón de invierno sera aquel que logre la mayor cantidad de puntos entre los 8 concursos de invierno.

Cualquier situación no contemplada por el momento la resolverá el jurado organizador :)

Bueno, escriban sus preguntas y comentarios antes del examen del Lunes

Panda

Calificaciones hasta ahora

Problemas 1, 2, 3 y 6 para centros
Problemas 2, 3, 4 y 6 para primeros

Nombre Prob1 Prob2 Prob3 Prob4 Prob 5 Prob 6 Prob 7 Prob 8
Zyanya Irais Martínez Tanahara 7 5 1 5
Gustavo Humberto Vargas 7 7 0 2
Enrique Chiu Han 6 7 6 7
Joshua Ayork Acevedo 7 7 7 4
Adán Medrano Martín del 7 7 7 7
Juan Carlos Ortiz Rhoton 7 7 6 7
Angel Adrián Dominguez 6 7 1 3
Edson Gabriel Garrido 7 7 2 0
Flavio Hernández González 7 7 7 7
Karina De la Torre Sáenz 7 1 7 3
Enrique Chiu Han 7 6 7 7
Fernando Serrano Crotte 7 7 3 1
Jorge Garza Vargas 7 7 7 7
Adán Medrano Martín del 7 7 3 7
Jorge Ignacio González 7 7 7 4
Manuel Alejandro Espinosa 7 7 7 3
Daniel Perales Anaya 7 7 7 7
Georges Belanger Albarrán 7 7 7 7
María Natalie Arancibia Alberro
Angel Adrián Dominguez Lozano 7 1 1 3
Diego Alonso Roque Montoya 7 7 7 7
Fernando Josafath Añorve López 7 7 7 3
José Naín Rivera Robles 7 7 7 7
José Ramón Guardiola Espinosa 7 7 7 7

Comentario

Hola a Todos

Me llamo mucho la atencion el comentario de Jorge Chuck (que no se quien es, de hecho me gustaria que cada quien pusiera su nombre para saber quienes son), pues dice que como son vacaciones no estara muy atento al blog .... esta es la actitud que precisamente no deseamos en ustedes, pues mientras ustedes estan de vacaciones, en Canada por ejemplo, se entrenan a todo vapor en la casa.

Despues el pretexto será que no van a tener tiempo porque estan en la escuela o cosas por el estilo. Hay cambiar su mentalidad, de que no estan preparandose para competir entre ustedes en mayo, sino se estan preparando para competir en julio en la IMO. Esto que planea David para la semana que viene, pronto sera algo regular que impactara directamente en su historial para mayo, asi que si no estan "atentos" al blog serán puntos menos para ustedes.

Esto del blog es con la finalidad de cambiar esa actitud que algunos de ustedes tienen de que solo trabajan durante los entrenamientos y despues se olvidan por seis semanas, la idea es que los que mas se preparen, los que mas ganas tengan, son los que van a sacar medallas de plata y de oro en la IMO.

Mañana pongo las calificaciones del segundo problema del segundo examen.

A que horas se duermen? a que horas se levantan?

Para saber a que horas estaría bien ponerles unos miniconcursos, tambien por favor díganme si tienen Internet en su casa. Estaría bien ponerles unos problemas a las 8AM, que tal a las 10PM?, serian problemas de respuesta rápida así que quizás a la mas se lleve una 1/2 hora cada vez.

Si ya llegaron al blog, say AYE !!, rumbo a la IMO 2011 !!!

Para los Pre-IMOs : En este post escriban AYE en un comentario para saber que llegaron.

Problema del dia 16 de Septiembre

Como es el ultimo dia para poner problemas en el blog, antes de que se vayan a Paraguay, les dejo dos problemas:

1. Encontrar todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ que satisfacen las dos condiciones siguientes:
a) $f(n) f(-n) = f(n^2)$ para toda $n \in \mathbb{Z}$
b) $f(m+n)=f(m) + f(n) +2mn$ para todos $m, n \in \mathbb{Z}$


2. Encuentra todos los enteros positivos $n \geq 2$ tales que para números reales arbitrarios $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ se tiene la siguiente desigualdad
$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2 \geq n (x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_nx_1)$$

Solucion al problema 9 de septiembre

A mi me salio el problema con geometria analitica. jeje.

Problema del día: 14 de septiembre

Se tienen 1000 manzanas, cada una de ellas pesa al menos 25 gramos y entre todas pesan 10 kg. Tienen que ser cortadas de tal manera que le puedas dar 100 gramos a cada uno de 100 niños. Muestra que es posible hacer ésto de tal manera que cada trozo pesa al menos 25 gr.

Solución 9 de septiembre

Sean $S$ y $T$ las intersecciones de $BP$ y $PC$ con $HQ$ y $HR$, respectivamente. Sean $F$ y $G$ las proyecciones de $A$ sobre $CP$ y $BP$, respectivamente. El triángulo $BPC$ es rectángulo porque $MB=MP=MC$. Luego no es difícil ver que

\[\angle BCP=\angle CPM=\angle HPB=\angle BHS= \angle STH=\alpha\]

Lo que pide el problema es equivalente a demostrar que $\angle HRQ= \angle HTS=\alpha$, osea que $ST$ y $QR$ son paralelas. Notemos que $QH$ y $PC$ son paralelas por ser perpendiculares a $BP$. Analogamente $BP$ y $HR$ son paralelas. Ahora nos fijamos en el triángulo BPC y usando semejanzas que obtenemos de las paralelas hacemos:

\[\frac{BS}{CT}=\frac{\frac{BP\cdot SH}{CP}}{CT}=\frac{BP}{CP}\cdot \frac{PT}{CT}=\frac{BP}{CP}\cdot \frac{HT^2}{CT^2}=\frac{BP^3}{CP^3}\]

Por otra parte es fácil ver que AFPG es rectángulo porque es paralelogramo y tiene ángulos rectos, también $\angle APF= \angle CPM=\alpha$ y entonces los triángulos $AFP$ y $BPC$ son semejantes. Luego

\[\frac{AF}{AG}=\frac{AF}{FP}=\frac{BP}{CP}\]

Como los triángulos $FPG$ y $CPB$ también son semejantes se tiene

\[\frac{BG}{CF}=\frac{BP}{CP}\]

Finalmente usando que $QS$ es paralela a $AG$ y $TR$ es paralela a $AF$ se tiene

\[\frac{QS}{TR}=\frac{\frac{AG\cdot BS}{BG}}{\frac{CT\cdot AF}{CF}}=\frac{BS}{CT}\cdot \frac{AG}{AF}\cdot \frac{CF}{BG}=\frac{BP}{CP}=\frac{HS}{HT}\]

Esto implica que $QR$ y $ST$ son paralelas,, como queríamos.

11 de septiembre de 2010

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico circunscrito a una circunferencia. El incírculo del cuadrilátero $ABCD$ toca a los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ en los puntos $K$, $L$, $M$ y $N$, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos exteriores a $DAB$ y $ABC$ se intersectan en el punto $K$'. Las bisectrices de los ángulos exteriores a $ABC$ y $BCD$ se intersectan en el punto $L$'. Las bisectrices de los ángulos exteriores a $BCD$ y $CDA$ se intersectan en $M$'. Las bisectrices de los ángulos exteriores a $CDA$ y $DAB$ se intersectan en $N$'. Prueba que las rectas $KK$', $LL$', $MM$' y $NN$' son concurrentes.

Problema del dia: 10 de Septiembre

Se consideran 2002 segmentos en el plano tales que la suma de sus longitudes es la unidad. Probar que existe una recta r tal que la suma de las longitudes de las proyecciones de los 2002 segmentos dados sobre r es menor que 2/3.

Problema del día: 9 de Septiembre

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $P$ el punto en el segmento $AM$ tal que $BM = PM$ y sea $H$ el pie de la perpendicular de $P$ a $BC$. Sean $Q$ y $R$ puntos en $AB$ y $AC$ tales que $HQ$ es perpendicular a $PB$ y $HR$ es perpendicular a $PC$. Pruebe que el circuncírculo de $QHR$ es tangente a $BC$ en $H$.

Para Daniel

Que onda Daniel, no te he visto mucho en el blog...

Irving es famoso

Vean este link

http://foros.eluniversal.com.mx/entrevistas/detalles/17227.html

Problema del Día 8 de septiembre

Sea $f(n)$ el número de parejas $(x,y)$ de enteros positivos tales que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$. Demuestra que $f(n) = \tau(n^2)$ donde $\tau(n)$ es igual al número de divisores de $n$.

Problema del dia 7 de Septiembre

Encuentra todas las funciones $f$, de los números reales en los números reales que satisfacen
la ecuación $f(x)f(y) = f(x+y) + xy$ para cualesquiera números reales $x$ y $y$.

Hall of Fame

Aquí les presento como quedo el Hall of Fame de México después de la IMO 2010 y antes de la Ibero. Para que vean cuanto podrían subir con la Ibero. Este hall of fame lo hicimos principalmente Rogelio y yo, con participación amplia de muchos exolimpicos para definir criterios. Cualquier pregunta en los comentarios.

HALL OF FAME (en Google Documents)

Problema del día 5 de septiembre:

Sea n mayor que 1 y sea X un conjunto con n elementos. Sean A_1, A_2,..., A_n subconjuntos de X tales que la unión de cualesquiera 50 de ellos tiene más de (50/51)n elementos. Demuestra que es posible elegir tres de estos subconjuntos tales que cualesquiera dos de ellos tienen intersección no vacía.

Conjuntos en una cantidad impar de subconjuntos.

Denotamos por P(S) al conjunto de los subconjuntos de S.

Tomemos N={1,2,...,n}. La función f:P(P(N)) - > P (P(N)) manda un subconjunto de subconjuntos C al subconjunto de subconjuntos que están contenidos en una cantidad impar de elementos de C.
Por ejemplo, si N={1,2,3} y C={{1},{2},{1,2},{1,3},{1,2,3}}, entonces f(C)={vacío, {2},{23},{123}}, pues {2} está contenido en una cantidad impar de elementos de C (en {2}, {1,2} y {1,2,3}), y así con el resto.

Demuestra que f(f(C))=C.

Hola. Para quienes ya conocían el problema de geometría que les puse, aquí les va este:

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, sean $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$, respectivamente. Sea $P$ la intersección de $EF$ con $BC$. Por el punto $D$ trazamos una paralela a $EF$ que corta a $AB$ y $AC$ en $Q$ y $R$, respectivamente. Si $M$ es el punto medio de $BC$, pruebe que $MPQR$ es un cuadrilátero cíclico.

Problema del 1 de septiembre

Demostrar que si a^n+n divide a b^n+n para todo n entonces a=b.

Solución del 2 de sep

Aplicamos inversión con centro $F$ y como los circuncírculos de $BCF$ y $DEF$ son tangentes, entonces las rectas en las que se invierten son paralelas, lo mismo pasa con las circunferencias $BEF$ y $CDF$. Entonces $B_1E_1D_1C_1$ es un paralelogramo. Luego $\angle BCD= \angle BED$ pero $\angle BCD= \angle BCF+ \angle FCD$ y $\angle BED= \angle BEF+ \angle FED$. Luego sabemos que para cualesquiera puntos $X, Y \neq F$ se tiene $\angle FXY= \angle FY_1X_1$. Entonces

\[\angle FB_1E_1+\angle FD_1E_1=\angle FB_1C_1 + \angle FD_1C_1\]

Pero como $B_1E_1D_1C_1$ es paralelogramo también

\[\angle FB_1E_1+\angle FB_1C_1=\angle FD_1E_1 + \angle FD_1C_1\]

De donde

\[\angle FB_1E_1= \angle FD_1C_1\]

de esto se concluye fácil que $B_1,F,D_1$ son colineales. Por otra parte $BE$ se invierte en $\Gamma_{1}$, el circuncírculo de $B_1E_1F$ y $CD$ se invierte en $\Gamma_{2}$, el circuncírculo de $C_1D_1F$. Entonces $A_1$ es la intersección de $\Gamma_{1}$ y $\Gamma_{2}$ con $A_1\neq F$. Usando cíclicos y paralelas:

\[ \angle FA_1C_1+ \angle FA_1E_1= \angle FD_1C_1+(\pi -\angle FB_1E_1)=\pi\]

Entonces $C_1, A_1$ y $E_1$ son colineales y por lo tanto $F,C,A$ y $E$ son concíclicos.

2 de septiembre de 2010

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC < \angle ACB$. Sean $D$, $E$ puntos sobre los lados $AC$ y $AB$ tal que los ángulos $ACB$ y $BED$ son congruentes. Si $F$ es un punto en el interior del cuadrilátero$BCDE$ tal que el circuncírculo del triángulo $BCF$ es tangente al circuncírculo de $DEF$ y el circuncírculo de $BEF$ es tangente al circuncírculo de $CDF$, prueba que los puntos $A$, $C$, $E$ y $F$ son concíclicos.

Problema 31 de Agosto 2010

Demostrar que para cada numero natural n hay una potencia de 2 cuya expresion decimal tiene entre sus ultimos n digitos (de la derecha)mas de (2/3)n - 1 digitos que son iguales a cero.

Dada una circunferencia $K$, considere un cuadrilátero $ABCD$ con sus cuatro lados tangentes a $K$, con $AD$ tangente a $K$ en $P$ y $CD$ tangente a $K$ en $Q$. Sean $X$ e $Y$ los puntos donde $BD$ corta a $K$ y sea $M$ el punto medio de $XY$. Demuestre que $\angle AMP = \angle CMQ$