Problema 23 de mayo

Pues solo he hecho el A pero algo es algo.

Llamemosle X=(0,0), Y=(0,2k), Z=(k,RAIZ(3)*k) estos 3 puntos forman un equilatero.
Es conocido (Dirichlet's approximation theorem) que para cualquier numero real r existen infinitos p y q tales que |qr-p| < 1/q. (Se puede demostrar usando principio del palomar o tambien agarrando el desarrollo hasta n de la fraccion continua de r)

Podemos agarrar un q tal que q>1000, entonces |qRAIZ(3)-p|<1/q<1/1000, asi que agarremos k=q, y estara a menos de 1/1000 del punto W=(k,p) que es de coordenadas enteras. Asi si existe un triangulo equilatero asi (dehecho infinitos).

Sobre B, a posteriori he notado que si X pertenece al circulo (x_1,y_1), Y al (x_2,y_2) entonces Z esta en el circulo de radio 1/500 de centro G o de centro H, donde (x_1,y_1)(x_2,y_2)H y (x_1,y_1)(x_2,y_2)G son equilateros. Supongamos que es cierto.

Si XYZ es equilatero que cumple las condiciones con Z en G, tambien hay uno con Z en H asi que sin perdida de generalidad, Z esta en el circulo G. G esta a una distancia menor o igual a 3/1000 de un punto con coordenadas enteras, si y solo si hay un Z tal que Z esta a menos de 1/1000 de un punto con coordenadas enteras con XYZ equilatero. Asi que podemos trabajar con G,(x_1,y_1) y (x_2,y_2).

A cada punto le podemos restar (x_1,y_1) y si G,(x_1,y_1) y (x_2,y_2) funcionan, tambien los 3 nuevos puntos, asi que sin perdida de generalidad, (x_1,y_1)=(0,0)=O, y (x_2,y_2)=(a,b)=P. Sea el punto medio de OP,M=(a/2,b/2).Rotando B 90 grados por M contra las manecillas del reloj tenemos que B'=D+(-b/2,a/2)=((a-b)/2,(a+b)/2). Tenemos que MG/MB'= RAIZ(3), entonces G=M+RAIZ(3)(B'-D)=(a/2,b/2)+(-bRAIZ(3)/2,aRAIZ(3)/2)= ((a-bRAIZ(3))/2,(b+aRAIZ(3))/2).

Queremos que G este a menos de 3/1000 de un punto con coordenadas enteras. Sea T=(c,d) un punto entero mas cerca de G. Hasta aqui he llegado.