Determina si existe un entero positivo $m$ tal que la ecuación \[ {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over abc}={m\over a+b+c} \] tiene una infinidad de soluciones en los enteros positivos $a$, $b$, $c$.

Difícil y aburrido

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con ángulo recto en $C$ y $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto sobre el segmento $CD$. Sean $K$ y $L$ puntos en los segmentos $AX$ y $BX$ respectivamente tales que $BK = BC$ y $AL = AC$. El circuncírculo de $DKL$ intersecta al segmento $AB$ por segunda vez en $T$. Muestra que $\angle ACT = \angle BCT$.

Secuencia difícil

Hola, me encontré este problema ayer y se me hizo bastante difícil e interesante así que quiero compartirlo con ustedes.
Sea {a_n}, para $n \ge 1$ una secuencia de enteros positivos que satisface $ 0 < a_{n+1} - a_n < 2017$ para todos los enteros positivos $n$. Demuestra qué hay infinitas parejas $(p,q)$ tales que $a_p$ divide a $a_q$.

Martes de Combi (¡En martes!)

Hola Chicos

Hoy no les quedo mal.

Sean $a,b$ dos números naturales distintos. El conjunto $\{ x, y, z \}$, con x < y < z se dice $(a,b)$-adaptado si $\{z-y, y-x\} = \{ a, b \}$. Prueba que el conjunto de números naturales puede escribirse como unión de conjuntos $(a,b)$-adaptados disjuntos.

Problema del sabado 17 de junio

Muestra que un torneo con 799 equipos, existen 14 equipos tales que, cada uno de los primeros 7 equipos han ganado el juego en contra de cada uno de los últimos 7 equipos.

Jueves de Geometría en Viernes (mas compensación)

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Las rectas $BH$ y $CH$ cortan a $AC$ y $AB$ en
$D$ y $E$, respectivamente. El circuncírculo de $\triangle ADE$ corta el circuncírculo de $\triangle ABC$ en $F \neq A$. Demuestra que las bisectrices internas de $\angle BFC$ y $\angle BHC$ se cortan en un punto sobre el segmento $BC$.

2. Dos circunferencias $C_1$ y $C_2$, de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, se cortan en dos puntos $A$ y $B$. Sean $X$ e $Y$ puntos sobre $C_1$ distintos de $A$ y $B$. Las rectas $XA$ y $YA$ cortan a $C_2$ nuevamente en $Z$ y $W$ respectivamente. Sean $M$ el punto medio de $O_1 O_2$, $S$ el punto medio de $XA$ y $T$ el punto medio de $WA$. Demostrar que $MS = MT$ si y sólo si $XYZW$ es cíclico.

3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo en el que se han trazado las alturas $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$. Sea $A_2$ un punto del segmento $AA_1$ tal que $\angle BA_2C=90^\circ$, se definen análogamente los puntos $B_2$ y $C_2$. Sea $A_3$ el punto de intersección de los segmentos $B_2C$ y $BC_2$, se definen análogamente los puntos $B_3$ y $C_3$. Pruebe que los segmentos $A_2 A_3$, $B_2B_3$ y $C_2 C_3$ son concurrentes.

Martes de combi (en miércoles otra vez)

Hola chicos.

Una disculpa nuevamente por el desfase en la publicación.

Determina el mínimo y máximo número de triángulos orientados (triángulos en los que las aristas forman un ciclo siguiendo el orden de las flechas) que pueden encontrarse en una gráfica completa dirigida con n vértices.

álgebra en miércoles

Encuentra todas las funciones $f$ de los reales a los reales tales que para todos los reales $x$, $y$, $z$, $t$ se tiene que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \]

Problema del sábado 10 de junio.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumplen que para todos
$x$ y $y$ numeros reales
$$f(xf(y))+y+f(x)=f(x+f(y))+yf(x).$$

Problema Teoría de Número Viernes 9 de junio

Sean $f,g : \mathbb{Z} ^{+} \rightarrow  \mathbb{Z} ^{+} $ 

transformaciones con las siguientes propiedades:\\

a) $g$ es suprayectiva.\\

b) $ 2 f(n)^{2} = n^{2} + g(n)^{2} $ para todos 

los enteros positivos $n$.\\

c) $ \mid f(n) - n \mid \leq 2004 \sqrt{n} $, para toda $n$

Demuestra que $f$ tiene una cantidad infinita de puntos fijos.

Problema Teoría de Números del Viernes 2 de junio

 Si $n > 0$ es un entero tal que $s(n) =2$, 

¿Cúal es el mayor valor de $s(n^{10} )$? 

Recuerda que $s(n)$ denota a la suma de los dígitos de $n$.

Jueves de Geometría 2.

Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. El punto $X_A$ está sobre la tangente por $H$ al circuncírculo del triángulo $BHC$ de forma que $AH=AX_A$. De manera análoga se definen $X_B$ y $X_C$. Muestra que el triángulo $X_AX_BX_C$ es semejante al triángulo ortico del $ABC$. 

Martes de combi (en miércoles)

Hola chicos

Una disculpa por no subir problema ayer. Va el problema de combi de la semana:

Sea $n\geq 2$, tal que existen números naturales distintos $a_1,a_2, ... a_n, b_1, b_2, ...b_n$ con la propiedad que las $C^{n}_{2}$ (n en dos)  sumas $a_i+a_j$ son iguales a las $C^{n}_{2}$ sumas $b_i+b_j$ (en algún orden). Prueba que $n$ es una potencia de 2.

Sugerencia: sea $f(x) = \sum x^a_i$, $g(x) = \sum x^b_i$. Encuentra una ecuación algebraica que relacione f y g. Si n no es potencia de 2, esta ecuación algebraica no tiene solución. Usa inducción y derivadas para demostrarlo.

Problema del sabado 3 de junio

Dado un numero natural $k$, encuentra todas las funciones
f : \mathbb{N} \to  \mathbb{N}$
tales que para cada $m$, $n$ enteros positivos, se tiene que
f(m)+f(n) divide  a (m+n)^k.

Problema del miércoles

Los números reales $p$, $q$, $r$ y $s$ cumplen que $p+q+r+s=9$ y $p^2+q^2+r^2+s^2=21$. Demuestra que existe una permutación $(a,b,c,d)$ de $(p,q,r,s)$ tal que $ab-cd\geq 2$.

Jueves de Geometría

Les dejo este problema que me gusta mucho.

(APMO 2006 P4.) Sea $\Omega$ una circunferencia con cuerda $AB$. La circunfenrencia $\omega$ es tangente a la cuerda $AB$ en su punto medio y a $\Omega$. Supongamos que la tangente desde $B$ a $\omega$ corta a $\Omega$ en $C$. Muestra que la circunferencia que es tangente a $AC$ en su punto medio y que también es tangente a $BC$ es una circunferencia tangente a $\Omega$.

Problema del miércoles

Demuestra que el conjunto de enteros positivos que no se pueden representar como la suma de cuadrados perfectos distintos es finito.

Martes de Combi - Matrices

Todas las entradas de una matriz de $n \times n$ son todas números enteros positivos. Se permite realizar las siguientes operaciones: multiplicar por 2 todos los números de una fila, o bien, restarle 1 a todos los números de una columna. Prueba que mediante estas operaciones podemos llegar a que todas las entradas de la matriz sean 0.

Problemiércoles 29

Prueba que entre cualesquiera $2n+1$ números irracionales hay $n+1$ números tales que la suma de cualesquiera $k$ de ellos es irracional, para todo $k \in \{1,2,3,\ldots, n+1 \}$.

Problema martes

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, la diagonal $BD$ no biseca a $\angle ABC$ ni a $\angle CDA$. El punto $P$ está adentro del cuadrilátero y cumple que $\angle PBC =\angle DBA$ y $\angle PDC =\angle BDA$. Prueba que $ABCD$ es cíclico si y sólo si $AP=CP$.

Problema del día

Sea $n \ge 3$ un entero positivo, y $t_1, t_2, ..., t_n$ números reales positivos tales que: 

\[n^2 + 1 > \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\]

Pruebe que $t_i, t_j, t_k$ son longitudes de un tríangulo para todo $i,j,k$ con $1 \leq i < j < k \leq n$

Problemas del Viernes

1. Sea $n$ un entero positivo impar. Determina el menor entero positivo $m$ para el cual existe una gráfica simple (sin lazos, sin aristas múltiples) con $m$ vértices, tal que un vértice tiene grado 1 y los $m - 1$ vértices restantes tienen grado $n$.

2. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Los puntos $P, Q, R, S$ están en los lados $AB, BC, CD$ y $DA$ respectivamente de manera que $AB$, $CD$ y $QS$ concurren, y $BC$, $AD$, y $PR$ concurren. Muestra que si dos de las rectas $PQ, RS$ y $AC$ son paralelas, entonces las tres son paralelas entre sí.

3. Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polígono convexo de $n$ lados cuyos vértices son todos puntos con coordenadas enteras, y tal que las medidas de sus lados son enteros impares distintos.

Problema 25 de Junio

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB$ distinto de $AC$. Sea $H$ el ortocentro de $ABC$ y
$M$ el punto medio de $BC$. Sea $D$ un punto en el lado $AB$ y $E$ un punto en el lado $AC$ tal que  $AE=AD$ y los puntos $D, H, E$ son colineales. Prueba que $HM$ es perpendicular al eje radical de los circulos circunscritos a $ABC$ y $ADE$.

Problemas del 24 de junio

1. Sea $k > 2$ un entero. Ana y Banana juegan un juego. Primero hay un entero $n \geq k$ en un pizarrón. En cada turno, empezando por Ana, borran el numero $m$ en el pizarrón y escribe uno $m'$ tal que $(m,m')=1$ y $k \leq m' < m$. El primer jugador que ya no puede hacer una jugada, pierde. 

Un número $n$ se llama bueno si Banana gana, y malo si no. 

Demuestra que si hay dos enteros $n$ y $n'$ tales que para todo $p$ primo menor o igual a $k$, $p$ divide a $n$ si y solo si $p$ divide a $n'$. Prueba que ambos números son buenos o malos.

2. Determina todas las funciones $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z} $ que cumplan

$\[ f \left( \frac{f(x)+a} {b}\right) = f \left( \frac{x+a}{b} \right) \]$

para toda $x \in \mathbb{Q}$, $a \in \mathbb{Z}$ y $b \in \mathbb{Z}_{>0}$.

Problemiércoles

En un planeta, hay $2^N$ países; $(N \geq 4).$ Cada país tiene una bandera de $N$ de largo y 1 de ancho, es decir, un tablero de $N$ cuadritos con tamaño $1 \times 1,$ cada uno de ellos coloreado rojo o blanco. Se sabe que no hay dos países con la misma bandera. Llamamos a un conjunto de $N$ banderas diverso, si se pueden acomodar las banderas en un tablero de $N \times N$ tal que las $N$ casillas de la diagonal principal (la que empieza en la esquina superior izquierda) tengan el mismo color, ya sea rojo o blanco. Determina el menor entero positivo $M$ tal que entre cualesquiera $M$ banderas distintas, siempre se van a poder encontrar $N$ banderas que hacen un conjunto diverso.

Problemas martes

1. Encuentra tods las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que cumplen que

$$f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y)$$
Para todos $x, y$.

2. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y $\Omega$ su circuncírculo. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $B$ y $C$ y que intersecta a $AB$ y $AC$ en $E$ y $D$ respectivamente, sea $O$ el centro de $\omega$. Sea $P$ un punto en el arco mayor $BAC$ de $\Omega$. Prueba que $BD$, $CE$ y $OP$ concurren si y sólo si los triángulos $PBD$ y $PCE$ tienen el mismo incentro.

Problemas Viernes 17

1. Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que $7^{7^n} + 1$ es producto de al menos $2n + 3$ primos, no necesariamente distintos.

2. Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H$ y $\ell$ una recta que no pasa por $H$. Sean $D, E, F$ las intersecciones de $\ell$ con $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. Sean $\ell_D$, $\ell_E$ y $\ell_F$ las rectas por $D, E$ y $F$ que son perpendiculares a $BC, CA$ y $AB$ por $D, E$ y $F$ respectivamente. Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ las intersecciones de $\ell_E$ con $\ell_F$, $\ell_F$ con $\ell_D$ y $\ell_D$ con $\ell_E$, respectivamente, y sea $H_1$ el ortocentro del triángulo $A_1B_1C_1$

Muestra que $\ell$ pasa por el punto medio de $HH_1$.

3. Las filas y columnas de un tablero de $3n \times 3n$ están numeradas $1, 2, \dots, 3n$. Cada cuadrito $(x, y)$ con $1 \leq x, y \leq 3n$ se colorea amarillo, blanco o celeste de acuerdo a si el residuo modulo $3$ de $x + y$ es $0, 1$ o $2$ respectivamente. Una ficha de color amarillo, blanco o celeste se coloca en cada cuadrito, de modo que haya $3n^2$ dichas de cada color.

Supón que es posible permutar las fichas de manera que cada ficha se mueve una distancia de a lo más $d$ de su posición original, cada ficha amarilla reemplaza una ficha blanca, cada ficha blanca reemplaza una ficha celeste, y cada ficha celeste reemplaza una ficha amarilla. Muestra que es posible permutar las fichas de manera que cada ficha se mueve una distancia de a lo más $d + 2$ de su posición original, y cada cuadrito contiene una ficha del mismo color que el cuadrito.

Problemas 16 junio

1. ¿Existirá una sucesión de enteros positivos $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ que cumpla que
para toda pareja de enteros $n \geq m$ $a_1+a_2+...+a_m$ no divida a $a_{m+1}+...+a_n$?

2. Un entero $m$ es una $k-esima$ potencia si existe un entero $x$ tal que $x^k =m$.
Demuestra que para todo entero $n$ existe un conjunto de $n$ enteros positivos distintos tal que su suma es una $2009-esima$ potencia y su producto una $2010-esima$ potencia.

3. Encuentra todas las funciones inyectivas de reales a reales tales que para todo real $x$ y todo entero $n$:
$ |\sum_{i=1}^n i(f(x+i+1)-f(f(x+i))| < 2016 $

Prob J 15

1. Sean $ a $, $ b $, $ c $ números reales positivos. Prueba la siguiente desigualdad:
\[ \frac{1}{a\left(b+1\right)}+\frac{1}{b\left(c+1\right)}+\frac{1}{c\left(a+1\right)}\geq \frac{3}{1+abc}. \]
2. Sea $n > 1$ un entero. Prueba que hay infinitos términos impares en la secuencia $(a_k )_{k\ge 1}$, definida por \[a_k=\left\lfloor\frac{n^k}{k}\right\rfloor\] ($\lfloor x\rfloor$ es el máximo entero menor o igual a $x$.)

Problemas martes

1. Considera los polinomios

$$\[f(x) =\sum_{k=1}^{n}a_{k}x^{k}\quad $$ y

$$\[g(x) =\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{2^{k}-1}x^{k},\quad$$

Donde $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}$ son reales y $n$ entero positivo. Prueba que si $1$ y $2^{n+1}$ son raíces de $g$ entonces $f$ tiene una raíz positiva menor a $2^{n}$.

2. Sea $n$ un entero mayor a $1$. Para un entero positivo $m$ sea $S_{m}=\{ 1,2,\ldots, mn\}$. Supón que existe un conjunto $T$ de $2n$ elementos tal que

$a)$  Cada elemento de $T$ es un subconjunto de $m$ elementos de $S_{m}$,
$b)$ Cada par de elementos de $T$ tiene a lo más un elemento en común, y
$c)$ Cada elemento se $S_{m}$ está contenido en exactamente dos elementos de $T$.

Determina el mayor valor posible de $m$ en términos de $n$.

3. Una red de comunicaciones formada por algunas terminales se llama 3-conectada si para cualesquiera tres terminales, al menos dos de ellas se pueden comunicar directamente. Una red de comunicaciones contiene un molino con $n$ aspas si existen $n$ pares de terminales $\{x_{1},y_{1}\},\{x_{2},y_{2}\},\ldots,\{x_{n},y_{n}\}$ tal que cada $x_{i}$ puede comunicarse de manera directa con su respectivo $y_{i}$ y hay una terminal central que se comunica directamente con cada una de las $2n$ terminales $x_{1}, y_{1},\ldots,x_{n}, y_{n}$. Determina el menor valor posible $f(n)$ en términos de $n$, tal que una red 3-conectada con $f(n)$ terminales siempre contiene un molino con $n$ aspas.