1. Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que $7^{7^n} + 1$ es producto de al menos $2n + 3$ primos, no necesariamente distintos.
2. Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H$ y $\ell$ una recta que no pasa por $H$. Sean $D, E, F$ las intersecciones de $\ell$ con $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. Sean $\ell_D$, $\ell_E$ y $\ell_F$ las rectas por $D, E$ y $F$ que son perpendiculares a $BC, CA$ y $AB$ por $D, E$ y $F$ respectivamente. Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ las intersecciones de $\ell_E$ con $\ell_F$, $\ell_F$ con $\ell_D$ y $\ell_D$ con $\ell_E$, respectivamente, y sea $H_1$ el ortocentro del triángulo $A_1B_1C_1$
Muestra que $\ell$ pasa por el punto medio de $HH_1$.
3. Las filas y columnas de un tablero de $3n \times 3n$ están numeradas $1, 2, \dots, 3n$. Cada cuadrito $(x, y)$ con $1 \leq x, y \leq 3n$ se colorea amarillo, blanco o celeste de acuerdo a si el residuo modulo $3$ de $x + y$ es $0, 1$ o $2$ respectivamente. Una ficha de color amarillo, blanco o celeste se coloca en cada cuadrito, de modo que haya $3n^2$ dichas de cada color.
Supón que es posible permutar las fichas de manera que cada ficha se mueve una distancia de a lo más $d$ de su posición original, cada ficha amarilla reemplaza una ficha blanca, cada ficha blanca reemplaza una ficha celeste, y cada ficha celeste reemplaza una ficha amarilla. Muestra que es posible permutar las fichas de manera que cada ficha se mueve una distancia de a lo más $d + 2$ de su posición original, y cada cuadrito contiene una ficha del mismo color que el cuadrito.
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