Problemas del Viernes

1. Sea $n$ un entero positivo impar. Determina el menor entero positivo $m$ para el cual existe una gráfica simple (sin lazos, sin aristas múltiples) con $m$ vértices, tal que un vértice tiene grado 1 y los $m - 1$ vértices restantes tienen grado $n$.

2. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Los puntos $P, Q, R, S$ están en los lados $AB, BC, CD$ y $DA$ respectivamente de manera que $AB$, $CD$ y $QS$ concurren, y $BC$, $AD$, y $PR$ concurren. Muestra que si dos de las rectas $PQ, RS$ y $AC$ son paralelas, entonces las tres son paralelas entre sí.

3. Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polígono convexo de $n$ lados cuyos vértices son todos puntos con coordenadas enteras, y tal que las medidas de sus lados son enteros impares distintos.