Problema del día (26-06-2013) (Chiu)

Unos más o menos fáciles:

$a)$ Prueba que la suma de los dígitos (en decimal) de todo múltiplo mayor que 0 de $\underbrace{11...1}_m$ es mayor o igual que $m$.

$b)$ Prueba que existe un múltiplo de $5^{2013}$ que no tiene ningún dígito cero en su expansión decimal.

Problema $5^2$ de junio del 2013, JUAN

Si ya los vieron, me dicen.

$PROBLEMA 1$:  En un hospital, cada par de pacientes son amigos o enemigos. La amistad y la enemistad son mutuas, y uno no es ni amigo ni enemigo de uno mismo. Si 3 pacientes tienen un amigo en común, entonces un número par de pares de ellos son enemigos (o sea, hay 2 o 0 pares de enemigos). Demuestra que existe la posibilidad de que:
--> Cada paciente tenga exactamente 2 enfermedades distintas
--> Si A y B son amigos, A y B tienen exactamente una enfermedad en común.
--> Si A y B son enemigos, A y B no tienen enfermedades en común.
--> No existen pacientes A, B, C y enfermedades X, Y, Z tales que A tiene X y Y, B tiene Y y Z y C tiene Z y X.

$PROBLEMA 2$: ABCD es un cuadrilátero tal que AC=BD. $AC \cap BD = P$. $w_1$ y $O_1$ son el circuncírculo y circuncentro de ABP, respectivamente. $w_2$ y $O_2$ son el circuncírculo y circuncentro de CDP, respectivamente. El segmento BC intersecta a $w_1$ y $w_2$ en S y T (además de B y C), respectivamente. M y N son los puntos medios de los arcos SP (sin B) y TP (sin C). Muestra $MN \parallel O_1O_2$.

Problema del Día (Adán)

Los círculos $\Omega_{1}$ y $\Omega_{2}$ se cortan en $P$ y $K$. Sea $XY$ la tangente común a $\Omega_{1}$ y $\Omega_{2}$ más cercana a $P$ de modo que $X$ está sobre $\Omega_{1}$ y $Y$ está sobre $\Omega_{2}$. La recta $XP$ corta de nuevo a $\Omega_{2}$ en $C$ y la recta $YP$ corta de nuevo a $\Omega_{1}$ en $B$. Sea $A$ la intersección de $BX$ con $CY$. Sea $Q$ la segunda intersección de las circunferencias circunscritas a $ABC$ y $AXY$. Muestra que \[\angle QXA=\angle QKP.\]

Soluciones (Adán)

Problema del Día 23-06-13 (Xavi)

Muestra que para todo entero positivo $n$ se tiene que

$\sum_{k=1}^n{\sqrt{\frac{k-\sqrt{k^2-1}}{\sqrt{k^2+k}}}}\leq\sqrt[4]{\frac{n^3}{n+1}}$

Soluciones Xavi Mock 6

Mock Juan 6

El Problema 1 ya lo había visto, los demás no, así que solamente escribí los problemas 2,3,4.

Soluciones Mock 6 (Chiu)

Diego Mock 6

Examen MOCK #6

Examen MOCK #6  (Tiempo del examen 4:30 horas)

Problema 1

En el plano son dados n puntos, no 3 en una linea. Un conjunto de estos puntos se llama "polite" si forman un polígono convexo con no puntos en su interior. Sea $c_k$ el numero de conjuntos "polite" con $k$ puntos.

Demostrar que la suma

\[\sum_{i=3}^{n} (-1)^i c_i \]

solo depende de $n$ y no de la configuración de los puntos.

Problema 2

Dado un entero $ n>1 $, encontrar todas las $n-eadas$ de distintos numeros naturales coprimos 2 a 2

$a_1,a_2,a_3,.....,a_n$  tales que  $ a_1 + .... + a_n $ divide a $ a_1^i + .... + a_n^i $  para $ 1 \le i \le n $

Problema 3

Demostrar que un polígono arbitrario simple (no necesariamente convexo) tiene una diagonal la cual esta completamente en el interior del polígono y divide al perímetro en 2 partes, cada una de las cuales tiene al menos un tercio de los vértices del polígono.




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Problema 4 (por si ya habían visto alguno de los anteriores)

Encontrar todas las funciones  tales que para todos 

Sean $a,b,c$ reales positivos. Sea $ a+b+c =\sqrt[7]{a}+\sqrt[7]{b}+\sqrt[7]{c} $. Por demostrar $ a^a b^b c^c\ge 1 $

Problema del día (19-06-2013) (Chiu)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. $AC$ y $BD$ se intersecan en $F$, $BA$ y $CD$ se intersecan en $E$. Sean $G$ y $H$ las proyecciones de $F$ sobre $AB$ y $CD$, respectivamente, y sean $M$, $N$ los puntos medios de $BC$ y $EF$, respectivamente. Si el circuncírculo de $MNG$ interseca al segmento $BF$ en un único punto $P$ y el circuncírculo de $MNH$ interseca al segmento $CF$ en un único punto $Q$, demuestra que $PQ\parallel BC$.

Encontrar todas las funciones $f$ de naturales a naturales tal que para todo $a$ y $b$ naturales se cumple que:
$a$, $f(b)$ y $f(b+f(a)-1)$ son los lados de un triangulo no degenerado.

Problema 18 junio 2013 JUAN

Pongo tres por que creo que no están difíciles, y los podrían haber visto.

PROBLEMA 1: En Combilandia, el combidiablo se enojó porque no pudo salir, y mandó un terremoto que destruyó 166 ciudades, de modo que solo quedaban 500 ciudades, y TODAS las calles quedaron destrozadas. Se construyeron nuevas calles, de modo que al final quedaron 2013 calles, todas de doble sentido. Dos ciudades  A y B son semivecinas si existe C tal que AC y CB son calles. Resulta que un matemático no puede caminar exactamente 4 calles (iniciando en una ciudad) y terminar en la misma ciudad en la  que inició. Demuestra que existe una ciudad en Combilandia que es semivecina de al menos 57 ciudades.

VERSIÓN CHAFA: Grafo simple (sin dobles aristas, no dirigido y sin aristas tipo V-V). 500 vértices, 2013 aristas. No hay ciclo de longitud 4. Muestra que hay un vértice A tal que existen al menos 57 otros vértices tales que existe un camino iniciando en A y terminando en ese vértice, de longitud 2.

PROBLEMA 2: Ana y Bruno juegan un juego. $P_n$ es el conjunto de los naturales $m$ que cumplen $p \in \mathbb{P}, p\textgreater 3 \Rightarrow v_p(m)=0$ y $v_3(m)+v_2(m)=n$. Si $X$ es un subconjunto de $P_n$, $S_X$ es la suma de los elementos de $X$. $S_{\{\}}=0$. Ana escoge un  número real $0 \le y \le 3^{n+1}-2^{n+1}$. Si Bruno encuentra un $Y$ subconjunto de $P_n$ tal que $0 \le y - S_Y \textless 2^n$, Bruno gana. De lo contrario, gana Ana. ¿Quién tiene estrategia ganadora?

PROBLEMA 3: $a,b,c$ reales positivos cuyas potencias cuartas suman a 3. Demuestra que $\sum_{cyc} \frac{1}{4-ab} \le 1$.

Problema del Día (Adán)

Determina todas las ternas de reales $\left(x, y, z\right)$ tales que

\[2x^{3}+1=3zx\]
\[2y^{3}+1=3xy\]
\[2z^{3}+1=3yz\]

Problema del Día 16-06-13 (Xavi)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que sus diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares y sea $M$ su punto de intersección.  Sean $EF$ y $GH$ dos segmentos que se intersectan en $M$ y con $E$, $F$, $G$ y $H$ sobre los segmentos $AB$, $CD$, $BC$ y $DA$, respectivamente. Sean $X$ y $Y$ los puntos de intersección de $EH$ y $GF$ con $AC$. Mostrar que si $M$ es punto medio de $AC$, entonces $M$ es punto medio de $XY$.

Soluciones (Adán)

Soluciones Mock 5 (Chiu)