lunes, 3 de junio de 2013
Problema del Día (Adán)
Determina todas las parejas de enteros positivos $\left(x, p\right)$ tales que $p$ es primo, se cumple que $x\leq 2p$ y \[x^{p-1}\mid \left(p-1\right)^{x}+1.\]
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3 comentarios:
Si $p=2$ claramente $x=1$ o $x=2$.
Si $x=1$, todo $p$ funciona.
Supongamos que $p$ no divide a $x$.
Así, $p$ es non y $x$ también, y $x$ no es $1$. Tomemos el divisor primo más chiquito de $x$, $q \ge 3$. Supongamos $q \textless p$. Supongamos $v_q(x)=a$. Tenemos que $a(p-1) \le v_q((p-1)^x+1)=v_q((p-1)^{2x}-1)=$$v_q((p-1)^d-1)+a$, por Lifting, si $d=ord_q(p-1) \le q-2$. Entonces, si tomamos un número $r \equiv p-1$ (mod $q$), y $1 \le r \le q-2$ (pues es claro que $q$ no divide a $p-1$, y s $p-1 \equiv -1$ (mod $q$), entonces $p=q$), tendremos que $q^{a(p-2)} | r^d-1 \Rightarrow q^{q} \textless q^{p-2} \le q^{a(p-2)} \le (q-2)^{q-1}-1$, contradicción. Así, $q \ge p$. Claramente ésto implica $x=p$, $x$ es primo mayor a $p$ o $x=2p$.
Si $x$ es primo mayor a $p$, vemos que $q^{p-1} | (p-1)^{2q} -1$ y por Fermat, $q | p-2$ (imposible), o $q | (p-1)^2-1 = p^2+2p \Rightarrow q | p+2 \Rightarrow q=p+2$. Así, $p+2 | (p-1)^{p+2}+1\Rightarrow p+2 | (-3)^{p+2} + 1 \Rightarrow$$ p+2 | 3^{p+2} - 1 \Rightarrow p+2 | 2$, contradicción.
Si $x=p$, vemos que $p^{p-1} | (p-1)^p + 1$. Como $ord_p(p-1)=2$ entonces $p-1 \le v_p((p-1)^{2p}-1) = 1+v_p((p-1)^2-1)=2$ Entonces $x=p=3$.
Si $x=2p$, $x$ es par, contradicción.
Respuesta: (x,p)=(2,2),(3,3),(1,p).
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