Problema $5^2$ de junio del 2013, JUAN

Si ya los vieron, me dicen.

$PROBLEMA 1$:  En un hospital, cada par de pacientes son amigos o enemigos. La amistad y la enemistad son mutuas, y uno no es ni amigo ni enemigo de uno mismo. Si 3 pacientes tienen un amigo en común, entonces un número par de pares de ellos son enemigos (o sea, hay 2 o 0 pares de enemigos). Demuestra que existe la posibilidad de que:
--> Cada paciente tenga exactamente 2 enfermedades distintas
--> Si A y B son amigos, A y B tienen exactamente una enfermedad en común.
--> Si A y B son enemigos, A y B no tienen enfermedades en común.
--> No existen pacientes A, B, C y enfermedades X, Y, Z tales que A tiene X y Y, B tiene Y y Z y C tiene Z y X.

$PROBLEMA 2$: ABCD es un cuadrilátero tal que AC=BD. $AC \cap BD = P$. $w_1$ y $O_1$ son el circuncírculo y circuncentro de ABP, respectivamente. $w_2$ y $O_2$ son el circuncírculo y circuncentro de CDP, respectivamente. El segmento BC intersecta a $w_1$ y $w_2$ en S y T (además de B y C), respectivamente. M y N son los puntos medios de los arcos SP (sin B) y TP (sin C). Muestra $MN \parallel O_1O_2$.