Problemas del Viernes

1.- (Más hexágonos, pero ahora bonitos) Demuestra que en seis puntos en posición convexa alguno de los triángulos que se forman con tres vértices tiene área menor o igual a $\frac{A}{6}$ donde $A$ es el área del hexágono.

2.- Sea $s$ la solución positiva de $x^2-1998x-1=0.$ La sucesión ${a_n}$ se define de la siguiente manera: $a_0=1$ y para $n>0$ $a_n=[sa_{n-1}]$ Encuentra el residuo de $a_{1998}$ al dividir por $1998$ 

3.- Sea $A, B, C$ una partición del conjunto ${1, 2, 3, \dots 3n}$ de tal manera de cada subconjunto tiene $n$ elementos. Determina si siempre es posible escoger un elemento de cada subconjunto de tal manera que la suma de dos de ellos sea el tercero.

Olimpiada Nacional de China 2013

Dos círculos $K_1$ y $K_2$ de diferentes radios se intersectan en dos puntos $A$ y $B$, sea $C$ y $D$ dos puntos sobre $K_1$ y $K_2$, respectivamente tales que $A$ es el punto medio del segmento $CD$. La extensión de $DB$ corta a $K_1$ en otro punto $E$, la extensión de $CB$ corta a $K_2$ en otro punto $F$. Sea $\ell_1$ y $\ell_2$ son las perpendiculares mediatrices de $CD$ y $EF$, respectivamente.

$i)$ Muestra que $\ell_1$ y $\ell_2$ tienen un único punto en común (denotado por $P$).

$ii)$ Prueba que las longitudes de $CA$, $AP$ y $PE$ son los lados de un triángulo rectángulo.

Problemas de Jun 23

1. Prueba que para toda $n$ existe un conjunto con $n$ elementos de manera que si tomas dos elementos del conjunto, $a$ y $b$, entonces $a-b$ divide a $a$ y a $b$ pero no a otro elemento del conjunto.

2. Sean $n$ y $a$ enteros fijos. Definimos al conjunto $S$ de la siguiente manera. $n \in S$ y para cada elemento $s$ de $S$ sabemos que $2s$ y $2s-1$ tambien estan en el conjunto. ¿Será cierto que para cada par de $n$ y $a$ existe un entero de la forma $k^a$ en $S$?

3. Sean $AH_1, BH_2, CH_3$ las alturas de un triangulo acutangulo $ABC$. El incirculo toca a los lados $BC, AC$ y $AB$ en $T_1, T_2$ y $T_3$ respectivamente. Considera las lineas simetricas a  $H_1H_2, H_2H_3$ y a $ H_3H_1$ con respecto a $T_1T_2, T_2T_3$ y a $T_3T_1$ respectivamente. Muestra que el triangulo formado por estas nuevas rectas esta inscrito en el incirculo de $ABC$.

Problemas 22 de junio

1. Probar que existe una permutación $x_1, x_2, \ldots, x_{2014}, x_{2015}=x_1$ de $1,2, \ldots, 2014$ tal que, para todo $1 \le k \le 2014$ se tiene que

$ x_{k+1} \in \{ 2x_k, 2x_k-1, 2x_k-2014, 2x_k-2015 \}$.

2. Se tiene una gráfica de $n$ vértices tal que no existen cuatro vértices que todos se conocen entre sí (no hay $K_4$'s). Encontrar el máximo número posible de triángulos ($K_3$'s) que puede tener dicha gráfica.

3. (**) Para un natural $n$, sea $f(n)$ el mayor número posible de aristas que una gráfica de $n$ vértices puede tener si no tiene cuadrados. Probar que existen infinitos enteros $n$ tales que

$f(n) \ge \frac{n^{3/2}}{2}-n$.

(Un cuadrado es un conjunto de 4 vértices distintos $A,B,C,D$ tal que $AB, BC, CD$ y $DA$ son aristas). 

Problema de Taiwan

En un hexágono convexo $ABCDEF$, se tiene que sus lados opuestos son paralelos, y también que la suma de distancias es la misma para cada pareja de lados opuestos. Los puntos medios de $AB$, $BC$, $DE$ y $EF$ son $A_1$, $B_1$, $D_1$ y $E_1$. Sea $P$ intersección de $A_1D_1$ con  $B_1E_1$. Muestra que $\angle{D_1PE_1}=\frac{\angle{DEF}}{2}$

Un par de problemas de la USAMO

Van dos problemas de la USAMO:

1. Sea $S=\{1,2,\ldots,n\}$ con $n\geq 1$ un entero. Cada uno de los $2^n$ subconjuntos de $S$ se pinta rojo o azul (el subconjunto, no sus elementos). Para cualquier subconjunto $T$ de $S$ denotamos con $f(T)$ a la cantidad de subconjuntos de $T$ que son azules.

Determina el número de coloraciones que satisfacen que para cualesquiera dos subconjuntos $R$ y $T$ de $S$ tenemos que $f(R)f(T)=f(R\cup T) \cdot f(R\cap T)$.

2. Sea $\lambda$ un real en el intervalo $(0,1)$ y $A$ un multiconjunto (i.e. puede tener elementos repetidos) de enteros positivos. Sea $A_n=\{a\in A: a\leq n\}$. Supongamos que para toda $n$ el conjunto $A_n$ tiene a lo más $n\lambda$ números. Muestra que hay una infinidad de enteros $n$ para los cuales la suma de los elementos en $A_n$ es a lo más $\frac{n(n+1)}{2} \lambda$.

Problemas del Jueves

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$. Las perpendiculares a $BI$ y $CI$ por $I$ cortan a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente. Sea $D$ el punto donde el incirculo de $ABC$ toca a $BC$ y $P$ el pie de la perpendicular de $I$ a $EF$. Sea $Q$ la intersección de $DE$ con $CP$. Muestra que $AQ$ es paralela a $BC$.

2. Se eligen diez enteros del conjunto $\{1, 2, 3, \dots 2009\}$. Muestra que existen tres distintos $a, b, c$ tales que $\text{mcd}(a, b)$ divide a $c$.

Problema de algebra

Sea $a_1,a_2,...$ una secuencia infinita de numeros reales, para la cual existe un numero real $c$ con  $0\leq a_i\leq c$ para toda $i$,  tal que $ |a_i-a_j|\geq \frac{1}{i+j}$  para todo $i,j$ con $i$ distinto de $j$.Prueba que $c\geq1$

Problemas del miércoles

1. ¿Será que exista un número real positivo tal que al elevarse a cualquier potencia entera positiva se obtenga siempre un número con parte fraccionaria estrictamente entre .4 y .6?

2. Determina si los enteros positivos se pueden partir en 12 subconjuntos disjuntos tales que, para cada k = 1, 2,… los números k , 2k , …, 12k pertenecen a distintos subconjuntos.

Tienes un conjunto de enteros positivos $S=a_1,a_2,...,a_n$ (se entiende que todos los elementos son distintos) y un conjunto $M$ de enteros positivos con $n-1$ elementos que no tiene a $a_1+...+a_n$. Un saltamontes inicia en el número 0 y da brincos del tamaño de elementos de $S$ y no puede repetir elementos. Demuestra que es posible que salte de manera que nunca caiga en uno de los elementos de $M$.

Problemas 15 de junio

1. Sea $ABCD$ un cíclico y $\omega$ un círculo tangente a $AB,CD$ y al circuncírculo de $ABCD$ internamente en $P$, en el arco $DA$. Probar que las bisectrices de los ángulos $ \angle BAD, \angle CDA $ y $ \angle APD $ concurren.

2. Se tiene una función $ f : \mathbb{Q} \mapsto \mathbb{R} $ de tal forma que para todo $x_0,h \in \mathbb{Q}$ se cumple que:

Toda secuencia de racionales $x_1,x_2,x_3,...$, todos distintos de $x_0$, que cumple

$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x_0$,

también cumple

$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n+h)-f(x_n) =0 $.

¿Será que necesariamente existe un intervalo $(a,b)$ con $a \neq b \in \mathbb{Q}$ tal que $f$ está acotada en $(a,b)$?

3. $AD,BE,CF$ son las alturas de un triángulo con circuncentro $O$, y $AO \cap FE = \{T\}$, y $AR$ es la altura de $A$ a $TD$. Probar

$\angle FRT = \angle ERT$.

Nacional Canada 2015

Van dos problemas del examen del nacional de Canadá de este año. Les dejo el enlace de AoPS por si también quieren poner su solución ahí o por si quieren ver los comentarios que la gente ha dejado.

1. Sea $p$ un número primo para el cual $\frac{p-1}{2}$ también es primo y sean $a$, $b$, y $c$ enteros no divisibles entre $p$. Muestra que hay a lo más $1+\sqrt{2p}$ enteros positivos $n$ tales que $n\leq p-1$ y $p$ divide a $a^n+b^n+c^n$.

http://artofproblemsolving.com/community/c6h1081588p4756514

2. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $\omega$ una circunferencia con centro en la altura desde $A$ en el triángulo $ABC$ y que pasa por $A$ y los puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. Supongamos que $BP\cdot CQ = AP\cdot AQ$.

Muestra que $\omega$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BOC$.

http://artofproblemsolving.com/community/c6h1081584p4756480

Problema del sabado

Considera el sistema $x+y=z+u$ and $2xy=zu$ Encuentra el mayor valor de la constante $m$ tal que $m \leq x/y$ para cualquier solucion entera $(x,y,z,u)$ del sistema,con $x$ mayor que $y$.

1- (IMO 1996) En el hexágono convexo ABCDEF las parejas de lados AD con DE, BC con EF y CD con FA son paralelas, y sea $p$ el semiperímtro. Sean $R_A$, $R_B$ y $R_C$ los circunradios de los triángulos $FAB$, $BCD$ y $DEF$ respectivamente. Demuestra que $R_A+R_B+R_C\geqslant p$

2- ¿Cuántos subconjuntos de ${1, 2, 3, ..., 2015}$ cumplen que la suma de sus elementos es múltiplo de $5$?

11 de Junio

1. Encuentra todos los enteros positivos $n \geq 3$ tales que un tablero de $n \times n$ sin las cuatro esquinas puede ser cubierto con piezas así:

2. Sea $n$ un entero positivo impar. Si $\phi(n)$ y $\phi(n + 1)$ son ambos potencias de 2, muestra que $n + 1$ es una potencia de 2 o $n = 5$.

1. Hay 2008 cartas rojas y  2008 blancas. 2008 jugadores estan sentados en una mesa circular. Inicialmente, cada jugador tiene 2 cartas del mismo color. En cada turno, todos los jugadores hacen simultaneamente lo siguiente:
$(i)$ Si el jugador tiene una o mas cartas rojas, le pasa una de sus cartas rojas al jugador que esta inmediatamente a su izquierda;
$(ii)$ Si no tiene cartas rojas, le pasa una blanca al jugador que esta inmediatamente a su izquierda.
Halla el máximo número de movimientos necesarios para que todos los jugadores tengan una carta de cada color.

2. Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Un círculo que pasa por $A$ y por $O$ intersecta a las líneas $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Si $PQ=BC$, halla el angulo que forman las rectas $PQ$ y $BC$ (el más pequeño).

Problema de perimetros constantes

Sea $ABCD$ un cuadrado con longitud de lado $a$ unidades. Consideremos $\ell_1$ y $\ell_2$ dos rectas paralelas que distan $a$ unidades. Se coloca el cuadrado $ABCD$ de manera que $AB$ y $AD$ cortan a $\ell_1$ en $E$ y $F$, además $CB$ y $CD$ corta a $\ell_2$ en $G$ y $H$. Sea $m_1$ y $m_2$ el perímetro de $AEF$ y de $CGH$ respectivamente. Muestra que $m_1+m_2$ es constante.

Problemas del Sabado

Una disculpa por no haber puesto problema el dia sabado, aqui les van dos problemas de combinatoria.

1.- Determina todos los enteros positivos $n$ tales que es posible construir un cubo de lado $n$ usando piezas de la siguiente forma:




2.- Para $n$ un entero positivo impar, los cuadros de un tablero de ajedrez de $nxn$ se colorean alternadamente de blanco y negro, con las cuatro esquinas coloreadas negras.Un trimino es una pieza en forma de $L$ formada por tres cuadritos conectados. ¿Para cuales enteros $n$ es posible cubrir todos los cuadritos negros con triminos? Cuando sea posible,¿cual es el minimo numero de triminos que se necesitan?

Problemas 8 de junio

1. Sea $p\equiv 3 (\text{mod } 4)$ un primo. Demostrar

$ \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} \displaystyle\frac{1}{k^2+1} \equiv \displaystyle\frac{1}{2} (\text{mod }p) $.

2. Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito e inscrito, con incentro $I$. Las perpendiculares a $AB,CD$ por $A,D$ se cortan en $U$ y las perpendiculares a $AB,CD$ por $B,C$ se cortan en $W$. Probar que $UWI$ son colineales.

3. Sean $\Gamma_1, \Gamma_2$ dos círculos que se coran en $P,K$. Sea $X \in \Gamma_1, Y\in \Gamma_2$ tales que $XY$ es tangente a ambos círculos, y $\angle XPY > \angle XKY$. Se tiene $XP \cap \Gamma_2 = \{P, C \}$ y $YP \cap \Gamma_1 = \{P, B\}$. Además, $BC \cap XY = \{ A\} $. Sea $Q$ la intersección de los circuncírculos de $ACY$ y $ABX$. Demostrar que

$\angle QKP + \angle QXB = 180$.

4. (**) Se tiene una gráfica dirigida, en cuyas aristas se escriben enteros no divisibles por $2012$. Para todo vértice $V$, si $S_i(V)$ es la suma de los números en las aristas entrando a $V$ y $S_o(V)$ es la suma de los números de las aristas saliendo de $V$, se tiene $S_i(V) \equiv S_o(V) (\text{mod }2012)$. 

Demostrar que se pueden re-bautizar a las aristas con números enteros distintos de zero y con valor absoluto menor a $2013$, de tal manera que $S_i(V)-S_o(V)=0$ para todo vértice $V$.
(Nota: si no les sale, no desperdicien mucho tiempo en este).

Problemas 7/6/15

Hola. Les dejo otros 5 problemas de TST de Holanda. Ahora son $4$ problemas del 1er TST para la IMO de 2013 y $1$ problema del $TST$ para la BxMO/EGMO de ese mismo año.

1. Determina todas las cuaternas (a,b,c,d) de números reales que satisfacen:

$ab+c+d=3$
$bc+d+a=5$
$cd+a+b=2$
$da+b+c=6$

2. Determina todos los enteros $n$ para los cuales $\frac{4n-2}{n+5}$ es el cuadrado de un número racional.

3. Sea $ABC$ un triángulo. Sea $\Gamma_1$ el circulo por $B$ tangente a $AC$ en $A$. Sea $\Gamma_2$ el círculo por $C$ tangente a $AB$ en $A$. La segunda intersección de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ le llamamos $D$. La línea $AD$ se intersecta con el circuncírculo de $ABC$ en $E$ ($E\neq A$). Muestra que $D$ es el punto medio de $AE$.

4. Determina todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen

$f(x+yf(x))=f(xf(y))-x+f(y+f(x))$

para todos los $x,y \in \mathbb{R}$.

5. Sea $n\geq 3$ un entero y considera un tablero de $n\times n$ dividido en $n^2$ cuadritos unitarios. Para toda $m\geq 1$ se tiene una cantidad arbitraria de rectángulos de $1\times m$ (tipo 1) y de $m\times 1$ (tipo 2). Cubrimos el tablero con $N$ de estos rectángulos, sin que se encimen y de modo que todo rectángulo está dentro del tablero. Se nos pide que se use la misma cantidad de rectángulos de tipo $1$ que de tipo $2$ (observa que un rectángulo de $1\times 1$ tiene ambos tipos). ¿Cuál es el minimo valor posible de $N$?

Problema del Jueves

Hola a Todos

Este es un problema interesante, no se si tiene el nivel de una IMO, sin embargo puede mostrar sus habilidades de conteo.

Considera los ocho vértices de un octágono, denotados por -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4. Se traza el segmento que une el vértice 1 con el vértice 2, llamemosle 12. Nunca se puede considerar los segmentos  -11, -22, -33, -44.

Determinar el número de caminos de $n$ segmentos, donde $3 \leq n \leq 8$, tal que un camino esta formado por $n$ segmentos que satisfacen lo siguiente:
i)    los segmentos son cualquier segmento $ij$, que va del vertice $i$ al vertice $j$ (esto es lo mismo que el segmento $ji$)
ii) Los caminos empiezan en el vertice 1
iii) Los caminos siempre terminan con el segmento ya considerado 12 (o 21 que es el mismo segmento)

4 de Junio

1. Encuentra todas las funciones $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que

$$f(x + y^2) = f(x) + \left|yf(y)\right|$$

Para cualesquiera $x, y \in \mathbb{R}$.

2. Encuentra todas las funciones $f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que

$$f(m)^2 + f(n) \mid (m^2 + n)^2$$

Para cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$.

3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Omega$. Sean $B_0$ y $C_0$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente, $G$ el gravicentro de $ABC$ y $D$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$. La circunferencia $\omega$ pasa por $B_0$ y $C_0$ y es tangente a $\Omega$ en $X$. Muestra que $D, G, X$ son colineales.

Hay cuatro piedras en distintos puntos látice del plano cartesiano. Dos de las piedras son azules. Se vale elegir cualesquiera dos de esas cuatro piedras y desplazar una tercera (distinta) por el vector determinado por las primeras dos. ¿Será siempre posible lograr que las piedras azules esten en el mismo punto latice despues de una cantidad finita de movimientos?

TST Romanian

Sea $D$ el punto medio de el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ con $AB\not=AC$ y sea $E$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$. Si $P$ es la intersección de la mediatriz del segmento $DE$ con la perpendicular desde $D$ a la bisectriz del ángulo $\angle BAC$, prueba que $P$ está en la ciercunferencia de los nueve puntos del triángulo $ABC$.

Problemas del 2 de Junio

1. Demuestra que para todo natural $n$ se tiene que existe:
(A) un conjunto de n naturales tales que la suma de cualquier subconjunto no es una potencia de un entero
(B) que todos son potencia

2. Sea $ABC$ un triangulo con circuncentro $O$ e incentro $I$. Sean $E,F$ los puntos de tangencia del incirculo con $AC$ y $AB$, respectivamente. Prueba que $EF, BC, OI$ concurren si y solo si $R_A^2=R_BR_C$ donde $R_A,R_B,R_C$ son los radios de los excirculos

Problemas del 1 de junio

1. Sea $ABC$ un triangulo y $P$ y $Q$ puntos isogonales. Sea $O_P$ el circumcentro del triángulo definido por las mediatrices de $PA, PB, PC$. Defino $O_Q$ similarmente. Muestra:

$PQ \parallel O_PO_Q$

2. (**) Tenemos una gráfica dirigida con $n$ vértices numerados y hay aristas $ 1 \rightarrow 2 \rightarrow ... \rightarrow n$. Queremos añadir $x_n$ aristas tal que cada arista $i \rightarrow j$ cumple $i<j$, y además para cualquier $i<j$ podemos llegar de $i$ a $j$ con $3$ aristas. Muestra que es posible elegir

$x_n=\mathcal{O}\left( n \cdot log(log(n))\right)$.

3. Se tienen naturales $a<b<2a$. En una cuadrícula, se colocan fichas en algunos cuadritos, de tal manera que en todo cuadro de $a \times b$ ó $b \times a$ hay alguna ficha. Encuentre el máximo número real $\lambda$ tal que para todo $n$ natural, podemos encontrar un cuadro de $n \times n$ con al menos $\lambda \cdot n^2$ fichas.