Problemas 15 de junio

1. Sea $ABCD$ un cíclico y $\omega$ un círculo tangente a $AB,CD$ y al circuncírculo de $ABCD$ internamente en $P$, en el arco $DA$. Probar que las bisectrices de los ángulos $ \angle BAD, \angle CDA $ y $ \angle APD $ concurren.

2. Se tiene una función $ f : \mathbb{Q} \mapsto \mathbb{R} $ de tal forma que para todo $x_0,h \in \mathbb{Q}$ se cumple que:

Toda secuencia de racionales $x_1,x_2,x_3,...$, todos distintos de $x_0$, que cumple

$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x_0$,

también cumple

$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n+h)-f(x_n) =0 $.

¿Será que necesariamente existe un intervalo $(a,b)$ con $a \neq b \in \mathbb{Q}$ tal que $f$ está acotada en $(a,b)$?

3. $AD,BE,CF$ son las alturas de un triángulo con circuncentro $O$, y $AO \cap FE = \{T\}$, y $AR$ es la altura de $A$ a $TD$. Probar

$\angle FRT = \angle ERT$.