1. Hay 2008 cartas rojas y 2008 blancas. 2008 jugadores estan sentados en una mesa circular. Inicialmente, cada jugador tiene 2 cartas del mismo color. En cada turno, todos los jugadores hacen simultaneamente lo siguiente:
$(i)$ Si el jugador tiene una o mas cartas rojas, le pasa una de sus cartas rojas al jugador que esta inmediatamente a su izquierda;
$(ii)$ Si no tiene cartas rojas, le pasa una blanca al jugador que esta inmediatamente a su izquierda.
Halla el máximo número de movimientos necesarios para que todos los jugadores tengan una carta de cada color.
2. Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Un círculo que pasa por $A$ y por $O$ intersecta a las líneas $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Si $PQ=BC$, halla el angulo que forman las rectas $PQ$ y $BC$ (el más pequeño).
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5 comentarios:
sea $X$ la interseccion de ambos circulos y notemos que hay una rotohomotecia XBC, XPQ. Pero como BC=PQ entonces la rotohomotecia es en realidad solo una rotacion. Entonces ambos circulos tienen el mismo radio, y así XOO' es equilatero, si O' es el otro centro. Además, la rotación lleva PQ a BC y lleva un círculo al otro. Entonces el ángulo <(PQ,BC) es igual a <(XO',XO==60.
1. El problema es el siguiente: Tengo $2008$ números en un círculo, $1004$ son 2s y $1004$ son 0s. En un paso, a cada numero positivo se le resta 1 y a cada numero a la derecha de un positivo se le suma 1. ¿Máximo cuantos pasos pasan antes de que todos sean 1?
Considero $X$ el número de 2s. En una dada configuración, sea un número 1 "bueno" si en el paso anterior, no era un 0. (En la configuración inicial no hay 1s, entonces no hay que preocuparnos aunque no haya paso "anterior"). Un número 1 "bueno" además es "excelente" si caminando a la derecha, piso puros números 1 buenos antes de llegar a un número 2 (no piso 1s malos ni 0s). Sea $Y$ el número de números 1s excelentes.
Es fácil ver que $X$ nunca incrementa.
Inicialmente $X=1004$. Cada vez que $X$ decrementa, digamos por $d$, es fácil ver que $Y$ puede incrementar a lo más por $d$. Además, cada vez que $X$ se mantiene igual, $Y$ decrementa al menos por $1$.
Entonces es fácil ver que hay a lo más $2007$ pasos, pues tenemos
$( X,Y ) \rightarrow (X-d, Y+d) \rightarrow $
$ ... \rightarrow (X-d,Y) \rightarrow ... \rightarrow (1,0) $
$ \rightarrow (0,0)$.
(en el último paso, $Y$ ya no incrementa).
Entonces en $2007$ pasos, ya gané.
La configuración es fácil, $1004$ 2s seguidos de $1004$ 0s.
nota: inicialmente $Y=0$.
otra solucion: es facil ver que nadie puede convertirse en un 2 si no era previamente un 2. Si un 2 sigue siendo un 2 despues de 2007 pasos, digamos que al principio tenía las cartas rojas A y B (y nunca pasa a la derecha la A), entonces pasa 2008 cartas rojas a la derecha después de 2008 pasos. Pero solo hay 2007 cartas (pues la carta A nunca la pasa), entonces una carta tuvo que haber dado la vuelta y esa persona la pasó 2 veces. Pero para dar la vuelta necesitas 2008 pasos y para que la pase de nuevo necesita un paso más, contradiccion
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