Problemas 8 de junio

1. Sea $p\equiv 3 (\text{mod } 4)$ un primo. Demostrar

$ \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} \displaystyle\frac{1}{k^2+1} \equiv \displaystyle\frac{1}{2} (\text{mod }p) $.

2. Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito e inscrito, con incentro $I$. Las perpendiculares a $AB,CD$ por $A,D$ se cortan en $U$ y las perpendiculares a $AB,CD$ por $B,C$ se cortan en $W$. Probar que $UWI$ son colineales.

3. Sean $\Gamma_1, \Gamma_2$ dos círculos que se coran en $P,K$. Sea $X \in \Gamma_1, Y\in \Gamma_2$ tales que $XY$ es tangente a ambos círculos, y $\angle XPY > \angle XKY$. Se tiene $XP \cap \Gamma_2 = \{P, C \}$ y $YP \cap \Gamma_1 = \{P, B\}$. Además, $BC \cap XY = \{ A\} $. Sea $Q$ la intersección de los circuncírculos de $ACY$ y $ABX$. Demostrar que

$\angle QKP + \angle QXB = 180$.

4. (**) Se tiene una gráfica dirigida, en cuyas aristas se escriben enteros no divisibles por $2012$. Para todo vértice $V$, si $S_i(V)$ es la suma de los números en las aristas entrando a $V$ y $S_o(V)$ es la suma de los números de las aristas saliendo de $V$, se tiene $S_i(V) \equiv S_o(V) (\text{mod }2012)$. 

Demostrar que se pueden re-bautizar a las aristas con números enteros distintos de zero y con valor absoluto menor a $2013$, de tal manera que $S_i(V)-S_o(V)=0$ para todo vértice $V$.
(Nota: si no les sale, no desperdicien mucho tiempo en este).