Olimpiada Nacional de China 2013

Dos círculos $K_1$ y $K_2$ de diferentes radios se intersectan en dos puntos $A$ y $B$, sea $C$ y $D$ dos puntos sobre $K_1$ y $K_2$, respectivamente tales que $A$ es el punto medio del segmento $CD$. La extensión de $DB$ corta a $K_1$ en otro punto $E$, la extensión de $CB$ corta a $K_2$ en otro punto $F$. Sea $\ell_1$ y $\ell_2$ son las perpendiculares mediatrices de $CD$ y $EF$, respectivamente.

$i)$ Muestra que $\ell_1$ y $\ell_2$ tienen un único punto en común (denotado por $P$).

$ii)$ Prueba que las longitudes de $CA$, $AP$ y $PE$ son los lados de un triángulo rectángulo.