soluciones Juan 3

Soluciones Juan 3

perdon

Examen IMO Mock 3 Sabado 1 de Junio, 4:00 pm

Problema 1 Encuentra todos los primos $p$ para los cuales existen enteros positivos $x$ y $y$ tales que $x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p$.

Problema 2 Determina el valor máximo de $\frac{1}{a^2-4a+9}+\frac{1}{b^2-4b+9}+\frac{1}{c^2-4c+9}$, en donde $a$, $b$ y $c$ son reales no negativos tales que $a+b+c=1$.

Problema 3 Dos estudiantes $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: Cada uno de ellos escribe en un papel un entero positivo y le da el papel al árbitro. El árbitro escribe en un pizarrón dos enteros, uno de los cuales es la suma de los enteros de ambos jugadores. Después de eso, el árbitro le pregunta a $A$, ¿Puedes decirme el entero que escribió el otro jugador? Si $A$ dice que no, el árbitro le hace la misma pregunta a $B$. Si $B$ dice que no, el árbitro regresa a hacerle la pregunta a $A$ y así sucesivamente. Supón que ambos jugadores son listos y honestos. Muestra que tras una cantidad finita de preguntas, uno de los estudiantes dirá que sí.

Diego Roque (31 de mayo)

$p$ primo impar. $x$ entero. Se cumple que $p$ divide a $x^3-1$ pero no divide a $x-1$. Demuestra que
 \[ p\mid (p-1)!\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots-\frac{x^{p-1}}{p-1}\right). \]

Dado un cuadrado unitario (que contiene el borde y su interior) y $n^2$ puntos adentro, demuestra que puedes hacer una linea quebrada (osea, muchos segmentos unidos de extremo a extremo, como si dibujaras lineas rectas sin levantar el lápiz) de longitud menor estricta a $2n+1$ que los una.

problema del dia jueves 30 de mayo

1. Sean $a, b, c, d, e, f$ enteros positivos. Sea $S= a+b+c+d+e+f$ y supon que divide a: $abc+def$ y tambien a $ab+bc+ca-de-ef-fd$. Prueba que $S$ es compuesto.

2. Sean $a > b > c > d$ enteros positivos y se tiene que $ac+bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c)$.

Prueba que $ab+cd$ no es primo.

Problema del día (29-05-2013) (Chiu)

El conteo doble es una de las técnicas más útiles en problemas de combi y puede ser de mucha ayuda al probar desigualdades entre cosas que hay que contar. Aquí van dos problemas:

$a)$ En un tablero rectangular de $m\times n$, dos casillas son adyacentes si comparten un lado, y un camino es una sucesión de casillas donde cada dos casillas consecutivas son adyacentes. Cada casilla se colorea de blanco o negro. Sea $N$ la cantidad de coloraciones del tablero tales que en ellas existe al menos un camino de puras casillas negras que va del extremo izquierdo al extremo derecho del tablero. Sea $M$ la cantidad de coloraciones del tablero tales que en ellas existen al menos dos caminos de puras casillas negras que no se intersecan (es decir, que no tienen casillas en común), donde cada uno de estos caminos va del extremo izquierdo al extremo derecho del tablero. Demuestra que $N^{2}\geq 2^{mn}M$.

$b)$ Un fotógrafo tomó $10$ fotografías. En cada fotografía hay $3$ personas: un hijo a la izquierda, su padre al centro, y un hermano de su padre (tío) a la derecha (todos hombres). Las $10$ personas que están al centro de las fotografías son todas distintas. Si $n$ es el número de personas que aparecen en al menos una fotografía, demuestra que $n\geq 16$.

Problema Martes 27 de mayo. GEO-COMBI.

$n$ es un natural fijo, y $K$ es una constante real fija. Sea $f: \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}$ una función que manda todos los puntos del plano a números reales. Se cumple que si $A_1 \ldots A_n$ es un $n$-ágono regular no degenerado, entonces $f(A_1)+ \ldots +f(A_n)= K$. Muestra que si $G$ es el gravicentro del triángulo acutángulo $\Delta ABC$ entonces $f(G)=\frac{f(A)+f(B)+f(C)}{3}$.

Problema del Día (Adán)

En un concurso hay $a$ concursantes y $b$ jueces, con $b\geq 3$ impar. Cada juez califica a cada concursante como aprobado o reprobado. Se sabe que cada par de jueces coinciden en sus calificaciones en a lo más $k$ concursantes. Muestra que

\[\frac{k}{a}\geq \frac{b-1}{2b}\]

Problema del 26 de Mayo (Xavi)

Sea $p$un numero primo y $A$ un subconjunto infinito de los números naturales. Sea $f_A(n)$ el numero de soluciones distintas de la ecuación $x_1+x_2+\cdots+x_p=n$, con $x_1, x_2,..., x_p \in A$. ¿Existe algun numero natural $N$ tal que $f_A(n)$ sea constante para todo $n>N$?

Soluciones (Adán)

Soluciones JUAN 2

el 1, el 2 y el 3 más o menos 

Soluciones Xavi Mock 2

Diego Roque Mock 2

Examen Mock 2 (kevin)

Soluciones IMO Mock 2

Examen IMO Mock 2 Sabado 25 de Mayo, 4:00 pm

Problema 1. Sea $n$ un entero mayor o igual que $1$. Para un entero positivo $m$, sea $S_m=\{1, 2, \dots, mn\}$. Suponga que existe un conjunto $T$ de $2n$ elementos tal que

$(a)$ cada elemento de $T$ es un subconjunto de $S_m$ con $m$ elementos;

$(b)$ cada par de elementos de $T$ comparten a los más un elemento;

$(c)$ cada elemento de $S_m$ esta contenido en exactamente  dos elementos de $T$.

Encuentre el valor maximo posible de $m$ en terminos de $n$.


Problema 2.  Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo acutángulo, y sean $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo, respectivamente. Para $1 \leq i \leq 3$, los puntos $P_i$ y $Q_i$ estan sobre las rectas $OA_i$ y $A_{i+1}A_{i+2}$ (donde $A_{i+3}=A_i$), respectivamente,  tal que $OP_iHQ_i$ es un paralelogramo. Muestra que

$\frac{OQ_1}{OP_1} + \frac{OQ_2}{OP_2}+\frac{OQ_3}{OP_3} \geq 3$.


Problema 3. Para un entero positivo $n$, sea $S$ el conjunto de polinomios $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes enteros positivos menores o iguales que $n!$. Un polinomio $P(x)$ en el conjunto $S$ es llamado "suave" si para cualquier entero positivo $k$, la sucesión $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $\dots$ contiene un número infinito de enteros primos relativos con $k$. Muestra que al menos $71 \%$ de los polinomios en $S$ son suaves.

Segundo Examen IMO Mock

Hola a Todos

Hoy es el segundo examen IMO Mock. La idea es empezarlo otra vez a las 4.
Esta vez me mandan las soluciones por foto, como le hicieron la mayoria de ustedes la vez pasada. Entonces el examen es de 4 a 8:30 y les doy 30 minutos adicionales para que manden el examen, asi que tiempo limite para mandar
soluciones es a las 9 de la noche.

24 de Mayo Diego Roque

Ahi les va uno, creo yo, pesado. Me dicen si ya lo vieron

Sea $c_n$ una secuencia definida asi $c_0 = c_1= 1$, $c_{2n+1} = c_n$, y $c_{2n} = c_n + c_{n-2^{v (n)}}$ para $n\geq 1$ Demuestra que

\[\sum_{i=0}^{2^n-1} c_i = \frac{1}{n+2} {2n+2 \choose n+1}.\]


Otro para que se entretengan, pero ahora de combi.

En cierto país, Unidireccionlandia,  hay varias ciudades y entre algunas de ellas hay carreteras. Estas carreteras tienen capacidad de uno o dos. De cada ciudad salen carreteras cuya suma de flujo es impar. El ministro de transporte, para abaratar costos, decide hacer que todas las carreteras sean de una sola dirección. Prueba que se puede hacer de tal manera que en todas las ciudades, la diferencia entre la suma de las capacidades de flujo entrante y la suma de las capacidades de saliente sea uno.

Problema del día 23/05/2013 (kevin)

1. Sea D un punto en el lado BC del triangulo ABC. Sean X,Y los excentos de los triangulos ABD,ACD que son opuestos a el vertice D, respectivamente. Sea E el punto de tangencia del excirculo de ABC opuesto a A con BC. Demuestra que X,Y,D,E estan en un mismo circulo.

2.Sea ABC un triangulo. Sean AP y BQ bisectrices del triangulo con P en BC y Q en AC. El angulo BAC mide 60° y AB+BP=AQ+QB. Cuales son los posibles valores del angulo ABC?

Problema del día (22-05-2013) (Chiu)

Les dejo un problema un poco raro de álgebra:

Sean $x_{1},x_{2},...,x_{6}$ reales tales que:

$x_{1}^{2}+...+x_{6}^{2}=6$
$x_{1}+...+x_{6}=0$

Encuentra el valor máximo que puede tomar $x_{1}x_{2}...x_{6}$.

Problema 21-05-13, Juan. DESIGUALDADES

Para que se me olvide, lo pongo temprano.

1. $n \ge 3$ es entero. $x_1$, ..., $x_n$ son reales positivos. Sucede que $\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\frac{1}{1+x_i} = 1$. Muestra que

$\displaystyle\sum_{i=1}^n \sqrt{x_i} \ge (n-1) \left(\sum_{i=1}^n \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x_i}} \right)$.

2. $abc=1$ y no son negativos. Muestra que $\displaystyle\frac{1}{a+b+1}+\displaystyle\frac{1}{b+c+1}+\displaystyle\frac{1}{c+a+1} \le 1$.

Problema del Día (Adán)

Sea $I$ el incentro de $ABC$. Sean $X$, $Y$, y $Z$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita a $ABC$ con los lados $BC$, $CA$, y $AB$ respectivamente. La recta paralela a $XY$ por $C$ corta a las rectas $XZ$ y $YZ$ en $M$ y $N$ respectivamente. Muestra que $\angle MIN<90^{\circ}$.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC=90^{\circ}$ y sea $AD$ la altura desde $A$ hasta $BC$. La recta que une a los incentros de $ABD$ y $ACD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $X$ y $Y$ respectivamente. Muestra que $\left(ABC\right)\geq 2\left(AXY\right)$.

Problema del Día 19-05-13 (Xavi)

A cada punto del plano se le asigna un solo color de siete distintos. ¿Existirá necesariamente un trapecio isósceles cuyos vértices tengan todos el mismo color?

Examen Mock IMO 1, comentarios

Hola  a todos

No lo habia pensado asi, pero creo que es buena idea esto de que al finalizar los examenes Mock, suban sus soluciones por medio de una foto, o algo por el estilo, pues como comentaba David, al volver a escribirlos en latex, seguro cambia un poco lo que hicieron.

Entonces, de ahora en adelante, esperemos que asi le hagan, pero no como lo hizo Diego.

El examen es de un selectivo para la IMO de Italia del 2005, y la idea era empezar con algo facil e ir subiendo el nivel poco a poco. El examen selectivo B lo aplicaremos en el entrenamiento en Morelia.

Ya empece mas o menos a ver las soluciones, en cuanto tenga las calificaciones las pongo aqui y se las paso a David para que lleve un registro de los examenes mock.

5 de ustedes subieron calificacion, el unico que no puso nada fue Kevin, asi que un super tache para el.

Saludos

Rogelio

Soluciones (Adán)