miércoles, 19 de junio de 2013

Encontrar todas las funciones $f$ de naturales a naturales tal que para todo $a$ y $b$ naturales se cumple que:
$a$, $f(b)$ y $f(b+f(a)-1)$ son los lados de un triangulo no degenerado.
Posted by nivek at 10:52 a.m.

7 comentarios:

Juan dijo...

Te tocaba hasta mañana... :P

19 de junio de 2013, 11:07 a.m.
Unknown dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
19 de junio de 2013, 1:19 p.m.
Unknown dijo...

Con $a=1$ vemos que

$1, f\left(b\right), f\left(b+f\left(1\right)-1\right)$

hacen un triángulo, por lo que

$f\left(b\right)+1>f\left(b+f\left(1\right)-1\right)>f\left(b\right)-1$

y entonces

$f\left(b\right)=f\left(b+f\left(1\right)-1\right)$

para toda $b$. Luego, si $f\left(1\right)\neq 1$ tenemos que $f$ es periódica, en como está en los naturales, está acotada entre $1$ y $M$, pero tomando $a=2M$ llegamos a una contradicción por la desigualdad del triángulo, por lo que

$f\left(1\right)=1$.

Luego, con $b=1$ vemos que

$1, a, f\left(f\left(a\right)\right)$

hacen un triángulo, por lo que

$a=f\left(f\left(a\right)\right)$

y $f$ es biyectiva.

19 de junio de 2013, 1:20 p.m.
Unknown dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
19 de junio de 2013, 1:26 p.m.
Unknown dijo...

Luego, si $a=2$ vemos que

$2, f\left(b\right), f\left(b+f\left(2\right)-1\right)$

hacen un triángulo, por lo que, tenemos $3$ opciones

$a)$ $f\left(b\right)=f\left(b+f\left(2\right)-1\right)$
$b)$ $f\left(b\right)+1=f\left(b+f\left(2\right)-1\right)$
$c)$ $f\left(b\right)-1=f\left(b+f\left(2\right)-1\right)$

pero la opción $a)$ no es posible, ya que $f\left(2\right)>1$ y esto implica que $f\left(b\right)\neq f\left(b+f\left(2\right)-1\right)$.

Ahora, esto nos dice que si comenzamos en $f\left(b\right)$, cada $f\left(2\right)-1$ la función crece o decrece en $1$. Supongamos que este cambio no es monótono, entonces existen $a$ y $b$ distintos tales que

$f\left(a\right)=f\left(b\right)$

lo cual contradice la inyectividad de $f$. Luego, este cambio no puede ser decreciente, pues $f$ está en los naturales, y no se puede hacer descenso infinito. Entonces el cambio es siempre creciente.

19 de junio de 2013, 1:27 p.m.
Unknown dijo...

Entonces tenemos que

$f\left(b\right)+1=f\left(b+f\left(2\right)-1\right)$

y entonces, si $f\left(2\right)=c>2$ tendremos que $f\left(c\right)=2$. Observemos que

$f\left(c\right)+1=3=f\left(2c-1\right)$
$f\left(2c-1\right)+1=4=f\left(3c-2\right)$
$\vdots$
$f\left(\left(k-2\right)c-\left(k-3\right)\right)+1=k=f\left(\left(k-1\right)c-\left(k-2\right)\right)$

(esto se ve inductivamente) y tenemos que todos los enteros positivos ya están dentro de estos valores de la función $f$, y esto es contradicción, pues $f\left(2\right)$ no tiene algún valor posible, por lo que $c=2$, y luego

$f\left(b\right)+1=f\left(b+1\right)$

y como $f\left(1\right)=1$ entonces $f\left(n\right)=n$ para todo $n$ natural, y se verifica claramente que esta función cumple el problema, pues

$a+b>a+b-1$
$2a+b-1>b$
$2b+a-1>a$

y es la única función que satisface el problema.

19 de junio de 2013, 1:33 p.m.
Juan dijo...

Bueno es obvio que $f$ es una involución, luego si $k = f(2)-1$ vemos que si graficamos a $f$ con el eje y dividido entre $k$, es una unión de segmentos de pendiente $1$ o $-1$, pero no puede haber una V o una ^, porque es involución entonces como tampoco es \, debe ser /, y de ahí también como es involución ves que $\boxed{f(n)=n}$

19 de junio de 2013, 7:56 p.m.

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