Examen Mock 5 (Empezar 4:00 pm, termina 8:00 pm, mandar soluciones antes de las 9:00 pm)

 Problema 1. Sean $a$, $b$, $c$ números reales tales que
$a^2 +b^2+c^2=1$. Muestra que

$\frac{3}{5} \leq \frac{a^2}{1+2bc}$ + $\frac{b^2}{1+2ca}$ + $\frac{c^2}{1+2ab}$.



Problema 2. Sea $ABC$ un triángulo cuyas longitudes de sus lados son
números enteros. Sean $D$ y $E$ los puntos en los cuales el incírculo de $ABC$ toca a los lados $BC$ y $AC$, respectivamente. Si $|AD^2-BE^2|\leq 2$, muestra que $AC=BC$.



Problema 3. En el plano cartesiano, un punto latiz es un punto con
coordenadas enteras. Encuentra todos los enteros positivos $n \geq 3$ tales que existe un polígono de $n$ lados con vertices puntos latiz y todos
los lados de igual longitud.