Examen MOCK #6

Examen MOCK #6  (Tiempo del examen 4:30 horas)

Problema 1

En el plano son dados n puntos, no 3 en una linea. Un conjunto de estos puntos se llama "polite" si forman un polígono convexo con no puntos en su interior. Sea $c_k$ el numero de conjuntos "polite" con $k$ puntos.

Demostrar que la suma

\[\sum_{i=3}^{n} (-1)^i c_i \]

solo depende de $n$ y no de la configuración de los puntos.

Problema 2

Dado un entero $ n>1 $, encontrar todas las $n-eadas$ de distintos numeros naturales coprimos 2 a 2

$a_1,a_2,a_3,.....,a_n$  tales que  $ a_1 + .... + a_n $ divide a $ a_1^i + .... + a_n^i $  para $ 1 \le i \le n $

Problema 3

Demostrar que un polígono arbitrario simple (no necesariamente convexo) tiene una diagonal la cual esta completamente en el interior del polígono y divide al perímetro en 2 partes, cada una de las cuales tiene al menos un tercio de los vértices del polígono.




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Problema 4 (por si ya habían visto alguno de los anteriores)

Encontrar todas las funciones  tales que para todos