Mock 3, Problema 2

Vi sus soluciones del problema 2 del Mock 3. Me parece que son buenas formas de atacar (usar derivadas, o una desigualdad intermedia). Como comentan en el FB, el problema sí se puede prestar a talacha. Esta entrada es para contarles otra solución. Es "de idea" y con un poco de suerte puede ayudar a ahorrarse talacha (y por lo tanto, tiempo). Está basada en la siguiente heurística:

"Si hay una función f(x) importante en el problema y tenemos condición sobre la suma de las variables, puede ser buena idea intentar acotar f(x) por una función lineal (de la forma ax+b)".

Con esto en mente, en el problema tenemos $f(x)=\frac{1}{x^2-4x+9}$. Nos gustaría encontrar $a$ y $b$ de modo que $f(x)\leq ax+b$. Después de jugar un rato, tenemos un valor muy alto en $1,0,0$. Así que si esperamos que la heurística funcione, quisieramos la igualdad en $x=0$ y $x=1$. De esta forma, obtenemos $b=f(0)=\frac{1}{9}$, y $a+b=f(1)=\frac{1}{6}$. De aquí, $a=\frac{1}{18}$. Por lo tanto, tenemos la siguiente conjetura (al estilo del "Pensamiento deseoso", que les conté en el documento que les mandé):

Conjetura: $\frac{1}{x^2-4x+9}\leq \frac{x+2}{18}$ para valores $x\in[0,1]$.

Bueno, verifiquen que se cumple esta conjetura y con eso terminen el problema.

En realidad no tengo tantos trucos de estos bajo la manga, pero también estaría padre que le echaran un ojo a este problema: http://blog.nekomath.com/como-dar-una-factorizacion-magica/ , en donde platico un poquito de cómo se me ocurrió una idea para resolver un problema.