Problema 11 junio 2013. JUAN.

Ahí va uno de combi chido. Perdón por la tardanza. Si ya lo han visto, me dicen para poner otro, porfa.

Problema: En Combilandia hay 666 ciudades. En total hay 666 carreteras entre las ciudades, de forma que se forma con las carreteras un polígono de 666 vértices (las ciudades). Sin embargo, si algún día sucede que todas las 666 carreteras han sido usadas, sale el Combidiablo y mata a todos. En cada ciudad vive exactamente un matemático, de modo que hay 666 matemáticos. Cada día, dos matemáticos de ciudades vecinas (unidas por una carretera) intercambian ciudades. Cuando se encuentran en el camino, se dan un apretón de manos y continúan. Después de algunos días, resulta que cada par de matemáticos se ha dado un apretón de manos exactamente una vez. Nadie que no sea matemático viaja. Demuestra que el Combidiablo no sale.

Ahí va otro chido de reemplazo:

Problema: Encuentra todos los $n \in \mathbb{N}$ tales que $\frac{2^{n-1}+1}{n} \in \mathbb{N}$.

Y otro por si ya vieron los dos (sé que Diego ya vio los dos :P).

Problema: Encuentra todos los $r \in \mathbb{Q}$ tales que:
$tan(r \pi) \in \mathbb{Q}$.

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NOTA: Al parecer está fallando LaTeX. Si quieren ver el código, copy-pasteénlo en http://www.artofproblemsolving.com/Resources/texer.php?

Ahí podrán ver la mate bien sin los símbolos de pesos y todo eso raro.