Esta vez pondré un truquillo que sirve para iteración de funciones, y algunos ejercicios.
El truco es el siguiente:
Si $f(x)=\phi ^{-1}(g(\phi (x)))$, con $\phi^{-1}$ y $\phi$ funciones inversas, entonces
$f^{(n)}(x)=\phi ^{-1}(g^{(n)}(\phi (x)))$,
donde $f^{(n)}$ es $f$ iterado $n$ veces (i.e. $f^{(n)}(x)=f(f(f(.....f(x)...)))$ $n$ veces).
Usando lo anterior, encontrar una expresión cerrada para $f^{(n)}(x)$ para:
$f(x)=\frac{x^{2}}{2x-1}$
$f(x)=\frac{x}{\sqrt[k]{1+ax^{k}}}$, $k$ entero positivo.
$f(x)=2x^{2}-1, -1\leq x\leq 1$
El chiste es encontrar una $g$ fácil de iterar tal que existe $\phi$ con $f(x)=\phi ^{-1}(g(\phi (x)))$.
Otro ejercicio:
Encuentra una función $p$ tal que $p^{(8)}(x)=x^{2}+2x$.
miércoles, 5 de junio de 2013
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3 comentarios:
Quisiste decir
$f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\phi^{-1}\left(g^{\left(n\right)}\left(\phi\left(x\right)\right)\right)$
o
$f^{\left(x\right)}\left(x\right)=\phi^{-1}\left(g^{\left(n\right)}\left(\phi\left(x\right)\right)\right)$
?
oh gracias, ahorita lo corrijo (es $f^{(n)}(x)$)
¡Qué imprudente, Enrique!
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