1. Encuentra todas las parejas de funciones $(f, g)$ de reales a reales que cumplen que:
$g(f(x + y)) = f(x) + (2x + y)g(y)$
para todos los reales $x$ y $y$.
2. Sea $ABC$ un triangulo con $AB=AC$ y sea $D$ el punto medio de $AC$. La bisectriz del angulo $BAC$ intersecta al circulo que pasa por $D$, $B$ y $C$ en $E$ con $E$ en el interior de $ABC$.
$BD$ intersecta a el circuncirculo de $AEB$ otra vez en $F$. $AF$ y $BE$ se intersectan en $I$. $CI$ intersecta a $BD$ en $K$. Demuestra que $I$ es el incentro de $KAB$
miércoles, 5 de junio de 2013
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5 comentarios:
2. CI simediana
no lo habia notado, pero si es la simediana
Ajá, haz de cuenta que BI es bisectriz, obvio, ¿no? Luego basta ver que KIA = 90+(B/2), ¿no?, y con angulitos eso se reduce q ver que ICA=DBC, o sea que CI sea simediana, ¿no? Ajá, pero tómate el circuncírculo de AFC e intersecta al de DBC en I', obvio por centro radical CII' son colineales, entonces basta ver que CI' sea simediana. Pero es fácil ver que CFA=90º entonces DC=DI'=DA=DF, ajá, entonces, entonces de ahí ves que I'CA=DI'C=DBC entonces acabas, según yo.
Ahora que lo pienso CFA=90º no es tan trivial, así se ve:
-> Llama BDC=alfa, DBA=beta, entonces si F' es la interseccion de BD con el circulo de centro D radio DA, entonces basta ver que BFAE es cíclico, o sea que beta/2=BAE=BFC=C-90+(alfa/2). Eso se reduce a 90-C=(alfa-beta)/2, ó A+beta=alfa, que es trivial, ajá.
Aún no me sale el 1, ahorita lo intento.
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